Question

设f(x)＝2x³＋ax²＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝－对称，且f′(1)＝0.
(1)求实数a，b的值；
(2)讨论函数f(x)的单调性，并求出单调区间 。

Answer 1

（1）a=3、  b=—12；(2)单调等增区间为（-∞，-2）和（1，+∞），单调递减区间为（-2，1）。

解析试题分析：(1) 因为f′(x) 的图象关于直线x＝－对称，所以，所以a=3；又f′(1)＝0，所以b=—12。
(2)由(1)知，知f（x）=2x³+3x²-12x+1，所以f′（x）=6x²+6x-12=6（x-1）（x+2），
令f′（x）=0，得x=1或x=-2，
当x∈（-∞，-2）时，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，-2）上是增函数；
当x∈（-2，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（-2，1）上是减函数；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数。
所以f(x)的单调等增区间为（-∞，-2）和（1，+∞），单调递减区间为（-2，1）。
考点：本题考查利用导数研究函数的单调性；二次函数的性质。
点评：当f(x)不含参数时，可通过解不等式f′（x）＞0(或f′（x）＜0)直接得到单调递增(或单调递减)区间。但要注意函数的定义域。