Question

在平面直角坐标系xoy中，已知圆C₁：（x+2）²+（y-3）²=9和圆C₂：（x-4）²+（y-3）²=9．
（1）若直线l过点A（-5，1），且被圆C₁截得的弦长为2

5

，求直线l的方程；
（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l₁和l₂，它们分别与圆C₁和圆C₂相交，且直线l₁被圆C₁截得的弦长与直线l₂被圆C₂截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）设出直线l的点斜式方程，又由直线圆C₁截得的弦长为2

5

，根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理，我们可以求出弦心距，即圆心到直线的距离，得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线l的方程．
（2）设出过P点的直线l₁与l₂的点斜式方程，根据⊙C₁和⊙C₂的半径相等，及直线l₁被圆C₁截得的弦长与直线l₂被圆C₂截得的弦长相等，可得⊙C₁的圆心到直线l₁的距离和圆C₂的圆心到直线l₂的距离相等，故我们可以得到一个关于直线斜率k的方程，即可以求所有满足条件的点P的坐标．

解答： 解：（1）设l方程为：y-1=k（x+5），圆C₁的圆心到直线l的距离为d，则
∵l被圆C₁截得的弦长为2

5

，
∴d=2，
∴d=

|-2k-3+5k+1|

k2+1

=2，
从而k（5k-12）=0，即k=0或k=

5

12

∴直线l的方程为：y=1或5x-12y+37=0；
（2）设点P（a，b）满足条件，
由题意分析可得直线l₁、l₂的斜率均存在且不为0，
不妨设直线l₁的方程为y-b=k（x-a），k≠0
则直线l₂方程为：y-b=-

1

k

（x-a）（6分）
∵⊙C₁和⊙C₂的半径相等，及直线l₁被圆C₁截得的弦长与直线l₂被圆C₂截得的弦长相等，
∴⊙C₁的圆心到直线l₁的距离和圆C₂的圆心到直线l₂的距离相等
即

|-2k-3+b-ka|

k2+1

=

|- 4 k -2+b+ a k |

1 k2 +1

整理得k（a+b）+a-b-1=0或（a-b+4）k+7-ab=0，
∵k的取值有无穷多个，
∴

a+b=0 a-b-1=0

或

a-b+4=0 a+b-7=0

解得

a= 1 2 b=- 1 2

或

a= 3 2 b= 11 2

，
这样的点只可能是点P₁（

1

2

，-

1

2

）或点P₂（

3

2

，

11

2

）
经检验点P₁和P₂满足题目条件．

点评：本题是中档题，考查点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系，对称的知识，注意方程无数解的条件，考查转化思想，函数与方程的思想，常考题型．