Question

9．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，当n≥2时，（a_n-S_n-1）²=S_nS_n-1，且a₁=1，设b_n=log₂$\frac{{a}_{n+1}}{3}$，则b₁+b₂+…+b_n=n²-n．

Answer 1

分析 当n≥2时，（a_n-S_n-1）²=S_nS_n-1，利用递推关系可得：$（{S}_{n}-2{S}_{n-1}）^{2}$=S_nS_n-1，展开化简可得：S_n=4S_n-1，利用等比数列的通项公式可得S_n．利用递推关系可得a_n，利用对数的运算性质、等差数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：当n≥2时，（a_n-S_n-1）²=S_nS_n-1，即$（{S}_{n}-2{S}_{n-1}）^{2}$=S_nS_n-1，展开化为：（S_n-S_n-1）（S_n-4S_n-1）=0，
∵正项数列{a_n}的前n项和为S_n，∴S_n≠S_n-1．
∴S_n=4S_n-1，
∴数列{S_n}是等比数列，首项为1，公比为4．
∴S_n=4^n-1．
∴n≥2，a_n=S_n-S_n-1=4^n-1-4^n-2=3×4^n-2．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{3×{4}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．
∴b_n=log₂$\frac{{a}_{n+1}}{3}$=$lo{g}_{2}{2}^{2n-2}$=2n-2，
则b₁+b₂+…+b_n=$\frac{n（0+2n-2）}{2}$=n²-n．
故答案为：n²-n．

点评 本题考查了递推关系、对数的运算性质、等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．