Question

一个多面体的直观图、主视图、左视图、俯视图如图，M、N分别为A₁B、B₁C₁的中点．下列结论中正确的个数有（　　）
①直线MN与A₁C相交．
②MN⊥BC．
③MN∥平面ACC₁A₁．
④三棱锥N-A₁BC的体积为V_N-A1BC=

1

6

a3．

• A、4个
• B、3个
• C、2个
• D、1个

Answer 1

考点：简单空间图形的三视图

专题：空间位置关系与距离

分析：根据直线MN与A₁C是异面直线，可判定①错误；
连接AC₁，交A₁C于O，连接OM，证明MN∥OC₁，可证MN∥平面ACC₁A₁，③正确；
再证BC⊥平面ACC₁A₁，OC₁?平面ACC₁A₁，从而证明BC⊥OC₁，故MN⊥BC，②正确；
根据VN-A1BC=VA1-BCN=

1

3

×

1

2

×a×a×a=

1

6

a³．可得④正确．

解答： 解：∵直线MN与A₁C是异面直线，∴①错误；
如图连接AC₁，交A₁C于O，连接OM，∵M、O分别是BA₁、CA₁的中点，
∴OM∥BC，OM=

1

2

BC，又BC∥B₁C₁，BC=B₁C₁，N为B₁C₁的中点，
∴OM∥NC₁，OM=NC₁，∴四边形OMNC₁为平行四边形，∴MN∥OC₁，
BC⊥AC，∴BC⊥平面ACC₁A₁，OC₁?平面ACC₁A₁，∴BC⊥OC₁，
∴MN⊥BC，②正确；
又MN?平面ACC₁A₁，BC?平面ACC₁A₁，∴MN∥平面ACC₁A₁，③正确；
∵A₁C₁⊥平面BCC₁B₁，∴A₁C₁为三棱锥A₁-BCN的高，
∴VN-A1BC=VA1-BCN=

1

3

×

1

2

×a×a×a=

1

6

a³．∴④正确．
故选：B．

点评：本题考查了线面垂直的判定与性质，线面平行的判定及棱锥的体积计算，考查了学生的空间想象能力与推理论证能力．