Question

8．已知函数f（x）=$\frac{x+1}{2x-1}$，数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=f（$\frac{n}{2017}$），则S₂₀₁₇=（　　）

• A． 1008
• B． 1010
• C． $\frac{2019}{2}$
• D． 2019

Answer 1

分析 由f（x）=$\frac{x+1}{2x-1}$，则f（1-x）=$\frac{1-x+1}{2（1-x）-1}$=$\frac{x-2}{2x-1}$，可知f（x）+f（1-x）=$\frac{x+1}{2x-1}$+$\frac{x-2}{2x-1}$=1，采用倒叙相加法求得求得前2016项和，由a₂₀₁₇=f（1）=2，则S₂₀₁₇=S₂₀₁₆+a₂₀₁₇，即可求得的S₂₀₁₇值．

解答 解：f（x）=$\frac{x+1}{2x-1}$，则f（1-x）=$\frac{1-x+1}{2（1-x）-1}$=$\frac{x-2}{2x-1}$，
∴f（x）+f（1-x）=$\frac{x+1}{2x-1}$+$\frac{x-2}{2x-1}$=1，
∵a_n=f（$\frac{n}{2017}$），
a₂₀₁₇=f（1）=2
∴a₁+a₂₀₁₆=f（$\frac{1}{2017}$）+f（$\frac{2016}{2017}$）=1，
∴a₂+a₂₀₁₅=1，
…
a₂₀₁₆+a₁=1
S₂₀₁₆=a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₆，
S₂₀₁₆=a₂₀₁₆+a₂₀₁₅+a₂₀₁₄+…+a₁，
∴2S₂₀₁₆=（a₁+a₂₀₁₆）+（a₂+a₂₀₁₅）+…+（a₂₀₁₆+a₁），
∴S₂₀₁₆=1008，
S₂₀₁₇=S₂₀₁₆+a₂₀₁₇=1008+f（1）=1010，
故选B．

点评 本题考查数列与函数的综合应用，考查倒叙相加法求数列的前n项和，考查计算能力，对于此类题应该构造f（x）+f（1-x）=常数，再利用倒叙相加法即可求得，属于中档题．