Question

在三角形ABC中，A（1，-2，-1），B（0，-3，1），C（2，-2，1），若向量

n

与平面ABC垂直，且|

n

|=

21

，则

n

的坐标为

 

．

Answer 1

考点：平面的法向量,空间两点间的距离公式

专题：空间向量及应用

分析：根据条件求出平面的法向量，结合向量的长度公式即可得到结论．

解答： 解：设平面ABC的法向量为

m

=（x，y，z），
则

m

•

AB

=0，且

m

•

AC

=0，
∵

AB

=（-1，-1，2），

AC

=（1，0，2），
∴

-x-y+2z=0 x+2z=0

，
即

x=-2z y=4z

，
令z=1，则x=-2，y=4，
即

m

=（-2，4，1），
若向量

n

与平面ABC垂直，
∴向量

n

∥

m

，
设

n

=λ

m

=（-2λ，4λ，λ），
∵|

n

|=

21

，
∴

21

•|λ|=

21

，
即|λ|=1，
解得λ=±1，
∴

n

的坐标为（2，-4，-1）或（-2，4，1），
故答案为：（2，-4，-1）或（-2，4，1）

点评：本题主要考查空间向量坐标的计算，根据直线和平面垂直求出平面的法向量是解决本题的关键．