Question

已知过点P（0，2）的直线l与椭圆

x2

2

+y²=1交于两个不同的点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），记λ=

|PA|

|PB|

，则

λ2+1

λ

的取值范围是（　　）

• A、（2，+∞）
• B、（2，

  10

  3

  ）
• C、（2，4）
• D、（2，

  10

  3

  ]

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：如图所示．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2．A（x₁，y₂），B（x₂，y₂）．与椭圆的方程联立可得（1+2k²）x²+8kx+6=0，由于△＞0，可得k2＞

3

2

．可得根与系数的关系x₁+x₂=

-8k

1+2k2

，x1x2=

6

1+2k2

．（*
由于

PA

=λ

PB

，可得x₁=λx₂．联立可得：

λ2+1

λ

=

1

3

•(10-

16

1+2k2

)，根据k2＞

3

2

，可得

λ2+1

λ

的取值范围．当直线l的斜率不存在时，A（0，1），B（0，-1），λ=

1

3

，可得

λ2+1

λ

．

解答： 解：如图所示．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2．
A（x₁，y₂），B（x₂，y₂）．
联立

y=kx+2 x2+2y2=2

，化为（1+2k²）x²+8kx+6=0，
△＞0，即64k²-24（1+2k²）＞0，化为k2＞

3

2

．（*）
∴x₁+x₂=

-8k

1+2k2

，x1x2=

6

1+2k2

．（**）
∵

PA

=λ

PB

，∴x₁=λx₂．
与（**）联立可得：

λ2+1

λ

=

1

3

•(10-

16

1+2k2

)，
∵k2＞

3

2

，
∴2＜

1

3

(10-

16

1+2k2

)＜

10

3

．
即2＜

λ2+1

λ

＜

10

3

．
当直线l的斜率不存在时，A（0，1），B（0，-1），λ=

1

3

，∴

λ2+1

λ

=

10

3

．
综上可得：2＜

λ2+1

λ

≤

10

3

．
故选：D．

点评：本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量的坐标运算、不等式的性质，考查了灵活变形的能力，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．