Question

已知偶函数f（x）满足对任意x∈R，均有f（1+x）=f（3-x）且f(x)=

m(1-x2)，x∈[0，1] x-1，x∈(1，2]

，若方程3f（x）=x恰有5个实数解，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：依题意，可求得偶函数f（x）的图象关于直线x=2对称，是以4为周期的函数，作出y=f（x）的图象后，作图分析即可求得答案．

解答： 解：∵f（1+x）=f（3-x），
∴偶函数f（x）的图象关于直线x=2对称；①，
又f（x）为偶函数，f（-x）=f（x），
∴f（4+x）=f（x），
∴f（x）是以4为周期的函数；②
∵f(x)=

m(1-x2)，x∈[0，1] x-1，x∈(1，2]

，
方程3f（x）=x恰有5个实数解，
∴y=f（x）的图象与y=

x

3

的图象有5个交点，作图如下：
当m=0时，

此时两个函数图象只有3个交点，不满足要求．
当m＞0时，

此时m∈(

4

3

，

8

3

)，
同理，当m＜0时，m∈(-

8

3

，-

4

3

)，
故实数m的取值范围是：(-

8

3

，-

4

3

)∪(

4

3

，

8

3

)
故答案为：(-

8

3

，-

4

3

)∪(

4

3

，

8

3

)

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数的对称性、周期性的确定及应用，考查转化思想与作图能力，属于难题．