Question

已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，b，c，若c=3且a²-c²=ab-b²，则△ABC的面积的最大值为

 

．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：由a²-c²=ab-b²得a²+b²-c²=ab，根据余弦定理求出cosC的值，再求角C的值，把c=3代入a²+b²-c²=ab变形，由基本不等式可得ab≤9，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．

解答： 解：由a²-c²=ab-b²，得a²+b²-c²=ab，
由余弦定理得，cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，
∵0＜C＜π，∴C=

π

3

，
又∵c=3，且a²+b²-c²=ab，
∴a²+b²=ab+9，
∵a²+b²≥2ab，∴ab+9≥2ab，
解得ab≤9，当且仅当a=b=3时取等号，ab的最大值是9，
此时△ABC的面积最大，即S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×9×

3

2

=

9 3

4

，
△ABC的面积的最大值为

9 3

4

，
故答案为：

9 3

4

．

点评：本题考查余弦定理，基本不等式的应用，特殊角的三角函数值以及三角形的面积公式，熟练掌握公式并会应用是解本题的关键．