Question

在等差数列{a_n}和等比数列{b_n}中，a₁=b₁=2，a₂=b₂=2+b，S_n是{b_n}前n项和．
（1）若

lim

n→∞

Sn=3-b，求实数b的值；
（2）是否存在正整数b，使得数列{b_n}的所有项都在数列{a_n}中？若存在，求出所有的b，若不存在，说明理由；
（3）是否存在正实数b，使得数列{b_n}中至少有三项在数列{a_n}中，但{b_n}中的项不都在数列{a_n}中？若存在，求出一个可能的b的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据条件先求出表示q，因为

lim

n→∞

Sn有意义有意义所以0＜|q|＜1，由等比数列前n项和公式可表示出

lim

n→∞

Sn，然后解方程

2

1-(1+ b 2 )

=3-b，可得b的值；
（2）分情况可证明当b取偶数（b=2k，k∈N*）时，{b_n}中所有项都是{a_n}中的项，当b取奇数（b=2k+1，k∈N*）时，b_n不是整数，数列{b_n}的所有项都不在数列{a_n}中；
（3）假设存在b满足题意，由b₁，b₂在{a_n}中可推出：{b_n}中至少存在一项b_m（m≥3）在{a_n}中，另一项b_t（t≠m）不在{a_n}中． 建立关系b_m=a_k得2(1+

b

2

)m-1=2+(k-1)b，尝试取m和k的值即可．

解答： 解：（1）对等比数列{b_n}，公比q=

2+b

2

=1+

b

2

．
∵

lim

n→∞

Sn有意义，
∴0＜|q|＜1，
∴-4＜b＜0．
又∵Sn=

2[1-(1+ b 2 )n]

1-(1+ b 2 )

，
∴

lim

n→∞

Sn=

2

1-(1+ b 2 )

=3-b．
解方程

2

1-(1+ b 2 )

=3-b，
得b=4或-1．
因为-4＜b＜0，所以b=-1．　
（2）当b取偶数（b=2k，k∈N*）时，{b_n}中所有项都是{a_n}中的项．
证：由题意：b₁，b₂均在数列{a_n}中，
当n≥3时，bn=2(

2+b

2

)n-1=2(k+1)n-1=2(

C

0 n-1

kn-1+

C

1 n-1

kn-2+…+

C

n-2 n-1

k1+

C

n-1 n-1

)
=2+2k[(

C

0 n-1

kn-2+

C

1 n-1

kn-3+…+

C

n-2 n-1

+1)-1]
∴{b_n}的第n项是{a_n}中的第

C

0 n-1

kn-2+

C

1 n-1

kn-3+…+

C

n-2 n-1

+1项．
当b取奇数（b=2k+1，k∈N*）时，
∵b_n不是整数，
∴数列{b_n}的所有项都不在数列{a_n}中．
综上，所有的符合题意的b=2k（k∈N^*）．
（3）假设存在b满足题意，
∵b₁，b₂在{a_n}中，
∴{b_n}中至少存在一项b_m（m≥3）在{a_n}中，
另一项b_t（t≠m）不在{a_n}中． 
由b_m=a_k得2(1+

b

2

)m-1=2+(k-1)b，
不妨取m=4得2(1+

b

2

)3=2+(k-1)b，即（b+2）²=4（k-2）．
不妨也取k=4，得b=2

2

-2（舍负值）．此时b₄=a₃． 
当b=2

2

-2时，b₃=8，an=2+(n-1)(2

2

-2)，对任意n，a_n≠b₃
综上，b=2

2

-2可以满足题意．

点评：本题主要考查等比数列等差数列的通项公式和前n项和公式，极限的意义，存在性问题的解决技巧，分析问题和处理数据的能力，属于难题．