Question

11．如图，在平行四边形ABCD中，已知$\overrightarrow{|AB|}$=8，$\overrightarrow{|AD|}$=5，$\overrightarrow{CP}=3\overrightarrow{PD}$，$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}=2$，则$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=22．

Answer 1

分析 由条件便可得出$\overrightarrow{DP}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CP}=-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$，这样根据向量加法的几何意义便可得出$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{AD}-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$，且$|\overrightarrow{AB}|=8，|\overrightarrow{AD}|=5，\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}=2$，从而进行向量数量积的运算便可得出$（\overrightarrow{AD}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}）•（\overrightarrow{AD}-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}）$=$25-12-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}=2$，从而便可求出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$的值．

解答 解：根据条件，
$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DP}$
=$\overrightarrow{AD}+\frac{1}{4}\overrightarrow{DC}$
=$\overrightarrow{AD}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$；
$\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CP}$
=$\overrightarrow{AD}+\frac{3}{4}\overrightarrow{CD}$
=$\overrightarrow{AD}-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$；
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}=（\overrightarrow{AD}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}）•（\overrightarrow{AD}-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}）$
=${\overrightarrow{AD}}^{2}-\frac{3}{16}{\overrightarrow{AB}}^{2}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$
=$25-12-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$
=2；
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}=22$．
故答案为：22．

点评 考查向量数乘的几何意义，相等向量的概念，以及向量加法的几何意义，向量数量积的运算及计算公式．