Question

A与B比赛，若一队胜四场则赢，俩队水平相当．
求：（1）A队一、五场输，二、三、四赢，最后获胜的概率
（2）若要决出胜负，平均要比几场？

Answer 1

考点：相互独立事件的概率乘法公式

专题：概率与统计

分析：（1）分别求出A队第六场赢的概率和A队第六场输且第七场赢的概率，相加，即得所求．
（2）设ξ为比赛场数，则ξ可能取值为4，5，6，7，求出ξ取每个值的概率，再代入随机变量的数学期望的计算公式，可得ξ的数学期望，即为所求．

解答： 解：（1）A队若第六场赢，概率为P₁=

1

2

•(

1

2

)3•

1

2

•

1

2

=

1

26

=

1

64

，
A队若第六场输，第七场赢，概率为P₂=

1

2

•(

1

2

)3•(

1

2

)2•

1

2

=

1

27

=

1

128

，
∴A队最终获胜的概率为

1

64

+

1

128

=

3

128

．
（2）设ξ为比赛场数，则ξ可能取值为4，5，6，7，
P（ξ=4）=2•(

1

2

)4=

1

8

，P（ξ=5）=2

C

3 4

•(

1

2

)3•

1

2

•

1

2

=

1

4

，
P（ξ=6）=2

C

3 5

•(

1

2

)3•(

1

2

)2•

1

2

=

5

16

，P（ξ=7）=2

C

3 6

•(

1

2

)3•(

1

2

)3•

1

2

=

5

16

，
Eξ=4×

1

8

+5×

1

4

=6×

5

16

+7×

5

16

≈6，∴平均需比赛约6场．

点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，求随机变量的数学期望，属于基础题．