Question

给出下列四个命题：
①2 log

1

2

3=-3；
②若函数f（x）=lg（ax+1）的定义域是{x|x＜1}，则a＜-1；
③已知x∈（0，π），则y=sinx+

2

sinx

的最小值为2

2

；
④已知a、b、c成等比数列，a、x、b成等差数列，b、y、c也成等差数列，则

a

x

+

c

y

的值等于2．
其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：由对数恒等式，即可判断①；由ax+1＞0得到{x|x＜1}，即a+1=0，即可判断②；
令sinx=t∈（0，1]，则y=t+

2

t

，求出导数，判断单调性求最小值，注意运用基本不等式求最值，验证等号成立的条件，即可判断③；
运用等差数列和等比数列的性质，注意消去b，化简即可得到所求的值，即可判断④．

解答： 解：①2 log

1

2

3=2log2

1

3

=

1

3

，故①错；
②若函数f（x）=lg（ax+1）的定义域是{x|x＜1}，则a+1=0，a=-1．故②错；
③已知x∈（0，π），令sinx=t∈（0，1]，则y=t+

2

t

，y′=1-

2

t2

＜0，（0，1]为减区间，
则t=1，取最小值3．故③错；
④已知a、b、c成等比数列，a、x、b成等差数列，b、y、c也成等差数列，则b²=ac，a+b=2x，b+c=2y，
即b=2x-a=2y-c，（2x-a）（2y-c）=ac，化简得，2xy=ay+cx，即有

a

x

+

c

y

的值等于2，故④对．
故答案为：④

点评：本题考查函数的定义域和最值，考查等差数列和等比数列的性质，考查运算能力，以及应用导数求最值，属于中档题．