已知函数.
(1当 时, 与)在定义域上单调性相反,求的 的最小值。
(2)当时,求证:存在,使的三个不同的实数解,且对任意且都有.
(1) 1,(2)详见解析.
解析试题分析:(1)利用导数求函数单调性,注意考虑函数定义域. 两个函数的单调性可以从可以确定的函数入手.因为当时,;当时,对恒成立,所以,对恒成立,所以,在上为增函数。根据和在定义域上单调性相反得,在上为减函数,所以对恒成立,即:,所以因为,当且仅当时,取最大值.所以,此时的最小值是,-(2)运用函数与方程思想,方程有三个不同的解,实质就是函数与有三个不同的交点 ,由图像可知在极大值与极小值之间. 证明不等式,需从结构出发,利用条件消去a,b,将其转化为一元函数:,从而根据函数单调性,证明不等式.
解析:(1)因为 2分。
当时,;当时,对恒成立,
所以,对恒成立,所以,在上为增函数。
根据和在定义域上单调性相反得,在上为减函数,所以对恒成立,即:,所以因为,当且仅当时,取最大值.所以,此时的最小值是, 6分
(2)因为当时,,且一元二次方程的,所以有两个不相等的实根 8分
当时,为增函数;
当
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=x2-alnx(a∈R).
(1)若函数f(x)的图象在x=2处的切线方程为y=x+b,求a,b的值;
(2)若函数f(x)在(1,+∞)上为增函数,求a的取值范围.
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