Question

5．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC上的点，且满足$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{EC}$，$\overrightarrow{DF}$=2$\overrightarrow{FC}$，记$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow b$，试以$\overrightarrow a，\overrightarrow b$为平面向量的一组基底．利用向量的有关知识解决下列问题；
（Ⅰ）用$\overrightarrow a，\overrightarrow b$来表示向量$\overrightarrow{DE}与\overrightarrow{BF}$；
（Ⅱ）若|AB|=3，|AD|=2，且|BF|=$\sqrt{3}$，求|$\overrightarrow{DE}$|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用向量的线性运算，直接求解；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：$\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{AD}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$
∴${\overrightarrow{BF}^2}=（\overrightarrow{AD}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}{）^2}={\overrightarrow{AD}^2}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AB}+\frac{1}{9}{\overrightarrow{AB}^2}$，可得$cos∠BAD=\frac{1}{2}$
  即可求得求|$\overrightarrow{DE}$|²，从而求得|$\overrightarrow{DE}$|．

解答 解：（Ⅰ）∵在平行四边形ABCD中，$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{EC}$，$\overrightarrow{DF}=2\overrightarrow{FC}$
∴$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=\overrightarrow a-\frac{1}{2}\overrightarrow b$------------------（3分）
  $\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow b-\frac{1}{3}\overrightarrow a$------------------------（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：$\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{AD}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$
∴${\overrightarrow{BF}^2}=（\overrightarrow{AD}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}{）^2}={\overrightarrow{AD}^2}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AB}+\frac{1}{9}{\overrightarrow{AB}^2}$---------------------------（8分）
∵|AB|=3，|AD|=2，且$|{BF}|=\sqrt{3}$
∴$（\sqrt{3}{）^2}={2^2}-\frac{2}{3}×2×3×cos∠BAD+\frac{1}{9}×{3^2}$
∴$cos∠BAD=\frac{1}{2}$-----------------------------------------------------------------------------（10分）
∴${\overrightarrow{DE}}^{2}=（\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}）^{2}$=${\overrightarrow{AB}}^{2}$-$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{4}{\overrightarrow{AD}}^{2}$
=${3}^{2}-3×2×cos∠BAD+\frac{1}{4}×{2}^{2}$
=9-6×$\frac{1}{2}$+1=7
∴$|{\overrightarrow{DE}}|=\sqrt{7}$--------------------------------------------------------------------------（12分）

点评 本题考查了向量的线性运算，向量的数量积运算，属于中档题．