Question

双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）过其左焦点F₁作x轴的垂线交双曲线于A，B两点，若双曲线右顶点在以AB为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由右顶点M在以AB为直径的圆的内部，得|MF|＜|AF|，将其转化为关于a、b、c的式子，再结合平方关系和离心率的公式，化简整理得e²-e-2＞0，解之即可得到此双曲线的离心率e的取值范围．

解答： 解：由于双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），则直线AB方程为：x=-c，其中c=

a2+b2

，
因此，设A（-c，y₀），B（-c，-y₀），
∴

c2

a2

-

y02

b2

=1，解之得y₀=

b2

a

，得|AF|=

b2

a

，
∵双曲线的右顶点M（a，0）在以AB为直径的圆内部
∴|MF|＜|AF|，即a+c＜

b2

a

，
将b²=c²-a²，并化简整理，得2a²+ac-c²＜0
两边都除以a²，整理得e²-e-2＞0，解之得e＞2（舍负）
故答案为：e＞2．

点评：本题给出以双曲线通径为直径的圆，当左焦点在此圆内时求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．