Question

已知函数g（x）=e^x，f（x）=

-g(x)+a

e•g(x)+b

，f（x）是定义在R上的奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）若关于t的方程f（2t²-mt）+f（1-t²）=0有两个根α、β，且α＞0，1＜β＜2，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,一元二次方程的根的分布与系数的关系

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据奇函数的定义求解；（2）利用奇函数的性质转化为一元二次不等式，借助与一元二次函数的关系进行判断．

解答： 解：（1）f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=

-e0+a

e+b

=0，即a=1．又f（-1）=-f（1），即

-e-1+1

e0+b

=-

-e+1

e2+b

，可得b=c．
所以f（x）=

-ex+1

ex+1+c

．
又f（-x）=

-e-x+1

e-x+1+e

=

-1+ex

e+ex+1

=-

-ex+1

ex+1+e

=-f(x)，
所以a=1，b=e成立．
（2）f（x）=

-ex+1

ex+1+e

=

1

e

(-1+

2

ex+1

)，易得f（x）在R上单调递减．
方程f（2t²-mt）+f（1-t²）=0可转化为f（2t²-mt）=-f（1-t²），又函数f（x）是奇函数，则
f（2t²-mt）=f（t²-1）．又函数f（x）在R上单调递减，
所以2t²-mt=t²-1，即t²-mt+1=0．
考虑函数h（t）=t²-mt+1，
（i）若α=1或2，则m=2或

5

2

，易得β=1或

1

2

或2，与β∈（1，2）矛盾；
（ii）若0＜α＜1或α＞2，则h（1）h（2）＜0，即（2-m）（5-2m）＜0，2＜m＜

5

2

；
（iii）若1＜α＜2，则只需满足

(-m)2-4≥0 1＜ m 2 ＜2 h(1)＞0，h(2)＞0

，m∈∅，
由以上（i）、（ii）、（iii）可知2＜m＜

5

2

．

点评：本题主要考查奇函数的定义和性质．