Question

2．下列说法中所有正确的是①③④
①“p∧q”为真的一个必要不充分条件是“p∨q”为真
②若p：$\frac{1}{x}$＞0，则￢p：$\frac{1}{x}$≤0
③若实数a，b满足$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$=1，则$\frac{1}{2}$≤a+b≤1
④数列{$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）^{2}}$}（n∈N^*）的最大项为$\frac{2}{9}$．

Answer 1

分析 ①根据复合命题真假以及充分条件和必要条件的定义进行判断．
②根据含有量词的命题的否定进行判断．
③根据转化法结合一元二次函数的单调性进行判断．
④根据数列构造函数，判断函数的单调性进行判断．

解答 解：①若“p∧q”为真，则p，q同时为真，则“p∨q”为真，
反之若“p∨q”为真，则p，q至少有一个为真，则“p∧q”不一定为真，
故“p∧q”为真的一个必要不充分条件是“p∨q”为真，正确，故①正确，
②若p：$\frac{1}{x}$＞0，则￢p：$\frac{1}{x}$≤0或x=0，故②错误，
③若实数a，b满足$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$=1，
由$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$=1得$\sqrt{b}$=1-$\sqrt{a}$≥0，则0≤a≤1，
则b=（1-$\sqrt{a}$）²=1-2$\sqrt{a}$+a，
则a+b=2a-2$\sqrt{a}$+1=2（$\sqrt{a}$）²-2$\sqrt{a}$+1=2（$\sqrt{a}$-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{2}$，
∵0≤a≤1，∴0≤$\sqrt{a}$≤1，
即当$\sqrt{a}$=$\frac{1}{2}$时，a+b取得最小值$\frac{1}{2}$，
当$\sqrt{a}$=0或1时，a+b取得最大值1，
即$\frac{1}{2}$≤a+b≤1成立，故③正确，
④$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）^{2}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}）^{2}+2•{2}^{n}+1}$=$\frac{1}{{2}^{n}+\frac{1}{{2}^{n}}+2}$，
∵n∈N^*，
∴2ⁿ≥2，则y=2ⁿ+$\frac{1}{{2}^{n}}$在[1，+∞）上是增函数，则y=$\frac{1}{{2}^{n}+\frac{1}{{2}^{n}}+2}$在[1，+∞）上是减函数，
∴当n=1时，y=$\frac{1}{{2}^{n}+\frac{1}{{2}^{n}}+2}$取得最大值，此时y=$\frac{2}{（2+1）^{2}}$=$\frac{2}{9}$，故④正确．

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点交点，综合性较强，有一定的难度．