Question

已知直线l与直线x+y=1=0垂直，其纵截距b=-

3

，椭圆C的两个焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），且与直线l相切．
（1）求直线l，椭圆C的方程；
（2）过F₁作两条互相垂直的直线l₁、l₂，与椭圆分别交于P、Q及M、N，求四边形PMQN面积的最大值与最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由直线l与直线x+y-1=0垂直，其纵截距b=-

3

，能示出直线l的方程；设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，由

x2 a2 + y2 b2 =1 y=x- 3

，得(a2+b2)x2-2

3

a2x+3a2-a2b2=0，由△=0，得a²+b²=3，由焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），得a²-b²=1，由此能求出椭圆方程．
（2）若PQ斜率不存在（或为0）时，S_{四边形PMQN}=2；若PQ斜率存在时，设为k，（k≠0），则MN的斜率为-

1

k

，直线PQ的方程为y=kx+k，由

x2 2 +y2=1 y=kx+k

，得|PQ|=2

2

•

k2+1

2k2+1

，同理，得|MN|=2

2

•

k2+1

2+k2

，由此求出S_{四边形PMQN}∈[

16

9

，2]，从而得到四边形PMQN面积的最大值为2，最小值为

16

9

．

解答： 解：（1）∵直线l与直线x+y-1=0垂直，其纵截距b=-

3

，
∴直线l的方程为y=x-

3

，
设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，
由

x2 a2 + y2 b2 =1 y=x- 3

，得(a2+b2)x2-2

3

a2x+3a2-a2b2=0，
∴△=（-2

3

a2）²-4（a²+b²）（3a²-a²b²）=0，即a²+b²=3，
又∵焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），∴a²-b²=1，
联立上式解得a²=2，b²=1，
∴椭圆方程为

x2

2

+y2=1．
（2）若PQ斜率不存在（或为0）时，
S_{四边形PMQN}=

|PQ|•|MN|

2

=

2 2 ×2 1- 1 2

2

=2，
若PQ斜率存在时，设为k，（k≠0），则MN的斜率为-

1

k

，
直线PQ的方程为y=kx+k，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

x2 2 +y2=1 y=kx+k

，得（2k²+1）x²+4k²x+2k²-2=0，
则x1+x2=

-4k2

2k2+1

，x1x2=

2k2-2

2k2+1

，
∴|PQ|=

1+k2

|x1-x2|
=

1

2k2+1

(1+k2)[16k4-8(k2-1)(2k2+1)]

=2

2

•

k2+1

2k2+1

，
同理，得|MN|=2

2

•

k2+1

2+k2

，
∴S_{四边形PMNQ}=

|PQ|•|MN|

2

=4•

(k2+1)2

(2+k2)(2k2+1)

=4•

k4+2k2+1

2k4+5k2+2

=2•

2k4+4k2+2

2k4+5k2+2

=2（1-

k2

2k4+5k2+2

）=2（1-

1

2k2+ 2 k2 +5

），
∵2k2+

2

k2

+5≥2

2k2• 2 k2

+5=9，
当且仅当k²=1时取等号，
∴

1

2k2+ 2 k2 +5

∈（0，

1

9

]，
∴S_{四边形PMQN}∈[

16

9

，2]．
综上所述，四边形PMQN面积的最大值为2，最小值为

16

9

．

点评：本题考查直线方程、椭圆方程的求法，考查四边形面积的最大值和最小值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．