Question

中心在原点O，焦点F₁、F₂在x轴上的椭圆E经过点C（2，2），且

CF1

•

CF2

=2．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）垂直于OC的直线l与椭圆E交于A、B两点，当以AB为直径的圆P与y轴相切时，求直线l的方程和圆P的方程．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程,平面向量数量积的运算,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设F₁（-c，0），F₂（c，0），

CF1

•

CF2

=4-c²+4=2，解得c=

6

，2a=

(2+ 6 )2+4

+

(2- 6 )2+4

=4

3

，由此能求出椭圆E的方程．
（Ⅱ）依题意，直线OC斜率为1，由此设直线l的方程为y=-x+m，代入椭圆E方程，得3x²-4mx+2m²-12=0，由此利用根的判断式、韦达定理，结合已知条件能求出直线l的方程和圆P的方程．

解答： 解：（Ⅰ）设F₁（-c，0），F₂（c，0），

CF1

=(-c-2，-2)，

CF2

=（c-2，-2），

CF1

•

CF2

=4-c²+4=2，解得c=

6

，
2a=|CF₁|+|CF₂|=

(2+ 6 )2+4

+

(2- 6 )2+4

=4

3

，
解得a=2

3

，b=

6

，
∴椭圆E的方程：

x2

12

+

y2

6

=1．
（Ⅱ）依题意，直线OC斜率为1，由此设直线l的方程为y=-x+m，
代入椭圆E方程，得3x²-4mx+2m²-12=0，
由△=16m²-12（2m²-12）=8（18-m²），得m²＜18，
记A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=

4m

3

，x₁x₂=

2m2-12

3

，
圆P的圆心为（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），
半径r=

2

2

|x1-x2|=

2

2

(x1+x2)2-4x1x2

，
当圆P与y轴相切时，r=|

x1+x2

2

|，则2x1x2=

(x1+x2)2

4

，
即

2(2m2-12)

3

=

4m2

9

，m²=9＜18，m=±3，
当m=3时，直线l方程为y=-x+3，
此时，x₁+x₂=4，圆心为（2，1），半径为2，
圆P的方程为（x-2）²+（y-1）²=4；
同理，当m=-3时，直线l方程为y=-x-3，
圆P的方程为（x+2）²+（y+1）²=4．

点评：本题考查椭圆方程、直线方程、圆的方程的求法，是中档题，解题时要注意函数与方程思想的合理运用．