Question

15．已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{p}^{2}}$=1（m＞p＞0）与双曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{{n}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{p}^{2}}$=1（n＞0）有公共的焦点F₁，F₂，设M为C₁与C₂在第一象限内的交点，|F₁F₂|=2c．则（　　）

• A． m²+n²=2c²，且∠F₁MF₂＞$\frac{π}{2}$
• B． m²+n²=2c²，且∠F₁MF₂=$\frac{π}{2}$
• C． m²+n²=4c²，且∠F₁MF₂＞$\frac{π}{2}$
• D． m²+n²=4c²，且∠F₁MF₂=$\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 利用两条曲线有相同的焦点坐标，推出m，n的关系式，通过双曲线与椭圆的定义结合勾股定理求解即可．

解答 解：椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{p}^{2}}$=1（m＞p＞0）与双曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{{n}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{p}^{2}}$=1（n＞0）有公共的焦点F₁，F₂，
可得m²-p²=c²，n²+p²=c²，可得：m²+n²=2c²，
又|MF₁|+|MF₂|=2m，|MF₁|-|MF₂|=2n，
可得|MF₁|=m+n；|MF₂|=m-n，
|MF₁|²+|MF₂|²=2（m²+n²）=4c²=|F₁F₂|²；
所以：∠F₁MF₂=$\frac{π}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．