Question

5．已知等差数列{a_n}中，a₁₀=30，a₂₀=50．
（1）求数列{a_n}通项；
（2）若记${b_n}=\frac{4}{{（{a_n}-10）（{a_n}-8）}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式求解数列的首项与公差，然后求出通项公式．
（2）化简数列的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和即可．

解答 解：（1）由a_n=a₁+（n-1）d，a₁₀=30，a₂₀=50，
得方程组$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+9d=30}\\{{a}_{1}+19d=50}\end{array}\right.$，…（2分）
解得 a₁=12，d=2，所以 a_n=2n+10．…（5分）
（2）由（1）知${b_n}=\frac{4}{{（{a_n}-10）（{a_n}-8）}}$=$\frac{4}{2n2（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，…（8分）
从而数列{b_n}的前n项和S_n=1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=1$-\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．…（10分）

点评 本题考查数列的通项公式的应用，数列求和，考查计算能力．