Question

在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，
（Ⅰ）求

AB

•

BC

的值
（Ⅱ）设动点P在以A为圆心，AB为半径的劣弧BC上运动，求

BP

•

CP

的最大值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（I）如图所示，利用数量积定义

AB

•

BC

=-

BA

•

BC

，即可得出；
（II）点P在以A为圆心，AB为半径的劣弧BC上运动，可得∠BPC=120°．利用数量积运算可得

BP

•

CP

=|

BP

|•|

CP

|cos120°=-

1

2

|

BP

|•|

CP

|≤0，即可得出．

解答： 解：（I）如图所示，

AB

•

BC

=-

BA

•

BC

=-2×2×cos120°=2．
（II）点P在以A为圆心，AB为半径的劣弧BC上运动，∵∠BAC=120°，∴∠BPC=120°．
∴

BP

•

CP

=|

BP

|•|

CP

|cos120°=-

1

2

|

BP

|•|

CP

|≤0，
当点P取点B或C时，取等号．
∴

BP

•

CP

的最大值为0．

点评：本题考查了数量积定义及其运算、圆的性质，考查了数形结合思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．