Question

5．已知圆C与圆D：（x-1）²+（y+2）²=4关于直线y=x对称．
（Ⅰ） 求圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+1与圆C交于A、B两点，且$|{AB}|=2\sqrt{3}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （I）由题意可知两圆半径相等，圆心关于直线y=x对称，从而得出圆C的圆心坐标，得出圆C的方程；
（II）利用垂径定理得出圆心C到直线l的距离，再利用点到直线的距离公式计算k，得出直线l的方程．

解答 解：（I）设圆C的圆心为C（a，b），半径为r，
则C（x，y）与D（1，-2）关于直线y=x对称，且r=2，
∴C（-2，1），
∴圆C的方程为（x+2）²+（y-1）²=4．
（II）∵圆C的半径为r=2，|AB|=2$\sqrt{3}$，
∴圆C的圆心C（-2，1）到直线l的距离d=$\sqrt{{r}^{2}-（\frac{AB}{2}）^{2}}$=1，
即$\frac{|-2k-1+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直线l的方程为：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1或y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1．

点评 本题考查了圆的方程，直线与圆的位置关系，属于基础题．