Question

某工厂投入98万元购买一套设备，第一年的维修费用12万元，以后每年增加4万元，每年可收入50万元．（总利润=总收入-投入资金-总维修费）就此问题给出以下命题：
（1）前两年没能收回成本；
（2）前5年的平均年利润最多；
（3）前10年总利润最多；
（4）第11年是亏损的．
其中所有真命题的是

 

．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：每年费用是以12为首项，4为公差的等差数列，第n年时累计的纯收入f（n）=50n-[12+16+…+（4n+8）]-98，对选项进行分析，即可得出结论．

解答： 解：由题设每年费用是以12为首项，4为公差的等差数列，设第n年时累计的纯收入为f（n），
则f（n）=50n-[12+16+…+（4n+8）]-98=40n-2n²-98=-2（n-10）²+102，
∴f（2）=-26＜0，∴前两年没能收回成本
n=10时，即投入捕捞10年后赢利总额达到最大．
f（11）=100＞0，第11年是赢利的，

f(n)

n

=40-2（n+

49

n

），∴n=7时，平均年利润最多．
故答案为：（1）（3）．

点评：本题考查的重点是函数模型的构建，解题的关键是将实际问题转化为数学问题，利用配方法求二次函数的最值．