Question

2．某工厂对某种产品的产量与成本的资料分析后有如表数据：

产量x（千件）	2	3	5	6
成本y（万元）	7	8	9	12

经过分析，知道产量x和成本y之间具有线性相关关系．
（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程$\hat y$=$\hat b$x+$\hat a$；
（2）试根据（1）求出的线性回归方程，预测产量为10千件时的成本．
参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为$\hat b$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$，$\hat a$=$\overline y$-$\hat b$$\overline x$．

Answer 1

分析 （1）求线性回归直线方程要先求出均值，再由公式求出a，b的值，写出回归直线方程；
（2）令x=10，求出y即可．

解答 解：（1）由表中的数据得：$\overline x=\frac{2+3+5+6}{4}=4，\overline y=\frac{7+8+9+12}{4}=9$，$\sum_{i=1}^4{{x_i}{y_i}=2×7+3×8+5×9+6×12=155}，\sum_{i=1}^4{x_i^2={2^2}+{3^2}+{5^2}+{6^2}=74}$，$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^4{{x_i}{y_i}-4\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^4{x_i^2-4{{\overline x}^2}}}}=\frac{155-4×4×9}{{74-4×{4^2}}}=\frac{11}{10}=1.1，\hat a=\overline y-\hat b\overline x=9-1.1×4=4.6$，
所以所求线性回归方程为$\hat y=1.1x+4.6$．
（2）由（1）得，当x=10时，$\hat y=1.1×10+4.6=15.6$，
即产量为10千件时，成本约为15.6万元．

点评 本题考查线性回归方程，解题的关键是理解并掌握求回归直线方程中参数a，b的值的方法，及求解的步骤．