15．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个顶点是P（0，-1），且离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．圆C₂：x²+y²=4，l₁，l₂是过点P且互相垂直的两条直线，其中直线l₁交圆C₂于A，B两点，直线l₂与椭圆C₁的另一交点为D．
（Ⅰ）求椭圆C₁的标准方程；
（Ⅱ）求△ABD面积的最大值及取得最大值时直线l₁的方程．

14．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F（-$\sqrt{3}$，0），过点F的直线交椭圆与A，B两点，当直线AB垂直x轴时，|AB|=$\frac{a}{2}$．
（1）求该椭圆方程；
（2）若斜率存在且不为0的动线段AB的中点为G，AB的垂直平分线与x轴和y轴分别交于D，E两点，O是坐标原点（如图所示），记△GFD的面积为S₁，△OED的面积为S₂，求$\frac{{S}_{1}{S}_{2}}{{{S}_{1}}^{2}+{{S}_{2}}^{2}}$的取值范围．

13．对定义域分别是D_f、D_g的函数y=f（x），y=g（x），
定义一个函数h（x）：h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）g（x），当x∈{D}_{f}且x∈{D}_{g}}\\{f（x），当x∈{D}_{f}且x∉{D}_{g}}\\{g（x），当x∉{D}_{f}且x∈{D}_{g}}\end{array}\right.$
（1）若f（x）=$\sqrt{3}$sinx+cosx（x≥0），g（x）=2cosx（x∈R），写出函数h（x）的解析式；
（2）在（I）的条件下，若$x∈[\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$时，h（x）-1-m≥0恒成立，求m的取值范围；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，π]，请设计一个定义域为R的函数y=f（x），及一个α的值，使得h（x）=cos2x，并予以证明．

12．已知△ABC三顶点均在双曲线$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上，三边AB、BC、AC所在的直线的斜率均存在且均不为0，其和为-1；又AB、BC、AC的中点分别为M、N、P，O为坐标原点，直线OM、ON、OP的斜率分别为k₁，k₂，k₃且均不为0，则$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$+$\frac{1}{{k}_{3}}$=-$\frac{1}{2}$．

11．下列四个结论正确的序号是②③．（填上所有正确的序号）
①函数y=xsinx在区间（0，π）内无最大值；
②数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ（n∈N^*），对任意的正整数n总存在正整数m，使得 S_n=a_m；
③若方程$\frac{{|{sinx}|}}{x}$=k（k＞0）有且仅有两个不同的实数根x₁，x₂（x₂＞x₁），则sinx₁+x₁cosx₂=0．

10．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1与双曲线5x²-$\frac{5}{4}$y²=1有相同的焦点，且二者的离心率之积是1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点，求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的最小值．

9．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥PD，AD⊥CD，PA=PD，AD∥BC，AB=AD=2BC=2，E是棱PD的中点，设二面角P-AD-B的值为θ．
（Ⅰ）当θ=$\frac{π}{2}$时，求证：AP⊥CE；
（Ⅱ）当θ=$\frac{π}{6}$时，求二面角P-AB-D的余弦值．

8．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）经过点（1，$\frac{3}{2}}$），且椭圆的左、右焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），过椭圆的右焦点F₂作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点 A、B及C、D．
（1）求椭圆的方程；
（2）求$\frac{1}{{|{{A}{B}}|}}$+$\frac{1}{{|{CD}|}}$的值；
（3）求|AB|+$\frac{9}{16}$|CD|的最小值．

7．在等差数列{a_n}中公差d≠0，若a₃+a_m-a₇=a_n+a₂-a₅，则m-n=（　　）

A．

$\frac{1}{4}$

B．

1

C．

2

D．

4

6．正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面上的射影是底面中心）S-ABCD的底面边长为4，高为4，点E、F、G分别为SD，CD，BC的中点，动点P在正四棱锥的表面上运动，并且总保持PG∥平面AEF，动点P的轨迹的周长为（　　）

A．

$\sqrt{5}$+$\sqrt{6}$

B．

2$\sqrt{5}$+2$\sqrt{6}$

C．

$\sqrt{5}$+$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$

D．

2$\sqrt{5}$+$\sqrt{6}$