【题目】在①离心率，②椭圆过点，③面积的最大值为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.

设椭圆的左、右焦点分别为，过且斜率为的直线交椭圆于两点，已知椭圆的短轴长为，________.

（1）求椭圆的方程；

（2）若线段的中垂线与轴交于点，求证：为定值.

【题目】设椭圆的左焦点为，下顶点为，上顶点为，是等边三角形.

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设直线，过点且斜率为的直线与椭圆交于点 异于点，线段的垂直平分线与直线交于点，与直线交于点，若.

(ⅰ)求的值；

(ⅱ)已知点，点在椭圆上，若四边形为平行四边形，求椭圆的方程.

【题目】如图所示，在四棱锥中，平面，， 是线段的中垂线， ，为线段上的点．

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）若为的中点，求异面直线与所成角的正切值；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的大小．

【题目】两地相距，现计划在两地间以为端点的线段上，选择一点处建造畜牧养殖场，其对两地的影响度与所选地点到两地的距离有关，对地和地的总影响度为对地和地的影响度之和，记点到地的距离为，建在处的畜牧养殖场对地和地的总影响度为.统计调查表明：畜牧养殖场对地的影响度与所选地点到地的距离成反比，比例系数为；对地的影响度与所选地点到地的距离成反比，比例系数为，当畜牧养殖场建在线段中点处时，对地和地的总影响度为.

（1）将表示为的函数，写出函数的定义域；

（2）当点到地的距离为多少时，建在此处的畜牧养殖场对地和地的总影响度最小？并求出总影响度的最小值.

【题目】如图，在多面体中，四边形为直角梯形，，，四边形为矩形，平面平面，，，点为的中点，点为的中点.

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值.

【题目】某社区有居民人，为了迎接第十一个“全民健身日”的到来，居委会从中随机抽取了名居民，统计了他们本月参加户外运动时间（单位：小时）的数据，并将数据进行整理，分为组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）试估计该社区所有居民中，本月户外运动时间不小于小时的人数；

（Ⅱ）已知这名居民中恰有名女性的户外运动时间在，现从户外运动时间在的样本对应的居民中随机抽取人，求至少抽到名女性的概率.

【题目】函数，其中常数.

（1）求的最小值；

（2）若，讨论的零点的个数.

【题目】如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，且，则下列结论中正确的是（ ）

A.

B.平面

C.与平面所成角是

D.面积与的面积相等

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：(a＞b＞0)的离心率为，且椭圆E的短轴的端点到焦点的距离等于2．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）己知A，B分别为椭圆E的左、右顶点，过x轴上一点P（异于原点）作斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆E相交于C，D两点，且直线AC与BD相交于点Q．①若k＝1，求线段CD中点横坐标的取值范围；②判断是否为定值，并说明理由．

【题目】已知定点，横坐标不小于的动点在轴上的射影为，若.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）若点不在直线上，并且直线与曲线相交于两个不同点.问是否存在常数使得当的值变化时，直线斜率之和是一个定值.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.