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山东省济宁市
2008―2009学年度高三第一阶段质量检测
数 学 试 题（理）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分。考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡
上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
第Ⅰ卷 （选择题， 共60分）
一、选择题：本大题共2小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
1．复数
满足
，则复数的实部与虚部之差为 （ ）
A．0 B．-1 C．-3 D．3
2．为了解一片大约一万株树木的生长情况，
随机测量了其中100株树木的底部周长
（单位：┩）.根据所得数据画出的样本频
率分布直方图如图，那么在这片树木中，
底部周长小于110┩的株树大约是（ ）
A．3000 B．6000 C．7000 D．8000
3．已知集合
，
(a∈R)，若S∪T=R，则
实数a的取值范围是 （ ）
A．-1≤a≤1 B．-1＜a≤1 C．0≤a≤1 D．0＜a≤1
4．已知数列
中，
，
利用如图所示的程序框图计算该数列的
第10项，则判断框中应填的语句是 （ ）
A．n＞10 B．n≤10
C．n＜9 D．n≤9
5．已知向量
，
若a⊥b，则
等于 （ ）
A．
B．
C．
D．
6．若
，且
，则
等于（ ）
A．-56 B．56 C．-35 D．35
7．在棱长为
的正方体
内任取一点
，则点到点
的距离小于等于
的概率为 （ ）
A．
B．
C．
D．
8．函数
的大致图象为 （ ）
9．已知两条不重合的直线
和两个不重合的平面
，有下列命题：
① 若
，则
；
② 若
，则
；
③ 若是两条异面直线，
，则；
④ 若
，则
.
其中正确命题的个数是 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知点
满足
，点
在圆
上，则
的最大值与最小值为 （ ）
A．6，3 B．6，2 C．5，3 D．5，2
11．设
是各项都是正数的等比数列的前
项和，若
，则公比
的取
值范围是 （ ）
A．
B．
C．
D．或
12．在周长为16的
中，
，则
的取值范围是 （ ）
A．
B．（0，16） C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
注意事项：
1．第Ⅱ卷共2页，必须用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，作图时，可用2B铅笔.字体
要工整，笔迹要清晰.严格在题号所指示的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案
无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。将答案填写在答题纸上。
13．已知抛物线和双曲线都经过点
，它们在
轴上有共同焦点，抛物线的顶点为坐
标原点，则双曲线的标准方程是 .
14．已知函数
的图象如图所示，它与直线
在原点处
相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴
影部分）的面积为
，则的值为
.
15．某简单几何体的三视图如图所示，其正视图、
侧视图、俯视图的面积分别是1，2，4，则这
个几何体的体积为 .
16．给出下列四个命题：
① 命题：“设
，若
，则
或
” 的否命题是“设，若
，则
且
”；
② 将函数
的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不
变），再向右平移
个单位长度，得到函数
的图象；
③ 用数学归纳法证明
时，从“
”
到“
”的证明，左边需增添的一个因式是
；
④ 函数
有两个零点。
其中所有真命题的序号是 。
三、解答题：本大题共6个小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
在
中，
分别为角
的对边，且满足
。
（Ⅰ）求角的值；
（Ⅱ）若
，设角
的大小为
的周长为
，求
的最大值。
18．（本小题满分12分）
某甲有一个放有3个红球、2个白球、1个黄球共6个球的箱子；某乙也有一个放有3
个红球、2个白球、1个黄球共6个球的箱子。
（Ⅰ）若甲在自己的箱子里任意取球，取后不放回，每次只取一个球，直到取到红球为
止，求甲取球次数
的数学期望；
（Ⅱ）若甲、乙两人各从自己的箱子里任取一球比颜色，规定同色时为甲胜，异色时为
乙胜，这个游戏规则公平吗？请说明理由。
19．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱
中，所有的棱长都为2，
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）当三棱柱的体积最大时，求平面
与平面
所成的锐角的
余弦值。
20．（本小题满分12分）
已知函数
（Ⅰ）当
时，
使不等式
，求实数
的取值范围；
（Ⅱ）若在区间
上，函数
的图象恒在直线
的下方，求实数的取值
范围。
21．（本小题满分12分）
椭圆
与直线
相交于、
两点，且
（
为坐标原点）。
（Ⅰ）求证：
等于定值；
（Ⅱ）当椭圆的离心率
时，求椭圆长轴长的取值范围。
22．（本小题满分14分）
已知数列的前项和为，对一切正整数，点
都在函数
的图象上，且在点处的切线的斜率为
。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若
，求数列
的前项和
；
（Ⅲ）设
，
，等差数列
的任一项
，其中
是
中最小的数，
，求数列的通项
公式。
参 考 答 案
一、选择题：（每小题5分，共60分）
1．A 2．C 3．C 4．D 5．B 6．A 7．D 8．D 9．C 10．B 11．B 12．D
二、填空题：（每小题4分，共16分）
13．
14．－3 15．
16．①③
三、解答题：
17．解：（Ⅰ）在
中，由
及余弦定理得
…2分
而
，则
； ………………………4分
（Ⅱ）由
及正弦定理得
，…………6分
同理
………………………8分
∴
……………………10分
∵
∴
，
∴
即
时，
。 ……………………12分
18．解：（Ⅰ）由题意知甲取球次数的取值为1，2，3，4
；
；
；
……………………4分
则甲取球次数的数学期望为
……………………6分
（Ⅱ）由题意，两人各自从自己箱子里任取一球比颜色共有
(种) 不同的情形 ……………………8分
每种情形都是等可能的，记甲获胜为事件A，则
……………………11分
所以甲获胜的概率小于乙获胜的概率，这个游戏规则不公平。……………………12分
19．（Ⅰ）证明：取
的中点，连接
，
在三棱柱中，
所有棱长都为2，
则
，……2分
所以
平面
而
平面，
∴
……………………4分
（Ⅱ）解法一：当三棱柱的体积最大时，点
到平面的距离最大，
此时
平面. ……………………6分
设平面与平面的交线为
，
在三棱柱中，
，
平面，
∴， ……………………8分
过点作
交于点
，连接
.由，知
平面
，
∴，故
为平面与平面所成二面角的平面角。……10分
在
中，
,则
在
中，
，
,
…12分
即平面与平面所成锐角的余弦值为
。
解法二：当三棱柱的体积最大时，点到平面的距离最大，此时
平面.以
所在的直线分别为
轴，建立直角坐标系，依题
意得
.
由
得
，设平面的一个法向量为
而
，
则
，
取
………………10分
∵平面，
∴平面的一个法向量为
∴
，
故平面与平面所成锐角的1余弦值为。 ……………………12分
20．解：（Ⅰ）当时
，
依题意得
∵
对于x∈[1，e]有
在1区间[1，e]上为增函数， ………………2分
，即m的取值范围是
………………4分
（Ⅱ）令
在区间（1，+∞）上，函数的图象恒在直线的下方
等价于
，在区间（1，+∞）上恒成立。
∵
……6分
①当
时，令
，得极值点
……………………8分
若
此时
若
有g(x)∈(g(1)，+∞)也不合题意； ……………………10分
②当
，则有
，此时在区间（1，+∞）上恒有，
从而
在区间（1，+∞）上是减函数；
要使在此区间上恒成立，只需满足
即
，由此求得a的范围是[-
，]。
综合①②可知，当
时，函数的图象恒在直线的下方。…12分
21．（Ⅰ）证明：
消去得
设点
，则
，…………2分
由
，
，即
化简得
， ……………………4分
则
即
，
为定值 ……………………6分
（Ⅱ）解：由
化简得
……………………9分
由
得
，即
故椭圆的长轴长的取值范围是
。 ……………………12分
22．解：（Ⅰ）由在函数的图象上
∴
（n∈N*） ……………………2分
则
，而
满足上式，
所以数列的通项公式为
； ……………………4分
（Ⅱ）由，求导
，
∵在处的切线的斜率为，
∴
……………………6分
∴
∴
则
用错位相减法可求得
……………………8分
（Ⅲ）由
，
∴
又∵
是中的最小数，
∵{cn}的公差是4的倍数，∴c10=4m+6（m∈N*） ……………………10分
则
，而，则
……………………12分
于是等差数列的公差为
，
则
，即为的通项公式 ……………………14分
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