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    上海市十二校2007―2008学年度高三第二次联考

    数学试题（理科）

    试卷满分：150分  考试时间：120分钟

    注：1．本试卷中N*表示正整数集。2．符号“”等同于符号“”

    一、填空题（本大题满分48分，每题4分）

    1．若关于x的实系数一元二次方程，

    则q=         。

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    2．设=        。

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    3．若实数a满足=        。

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    4．已知函数=       。

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    5．在极坐标系中，O是极点，设点、，则△OAB的面积是       。

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    6．设对称，则

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              。

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    7．曲线轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，…，则|P2P4|=         。

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    8．将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为        。（结果用最简分数表示）

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    9．设是方程的两根，则

        a2007+a2008=       。

    2,4,6

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    11．已知两点M（―5，0）和N（5，0），若直线上存在点P使|PM|―|PN|=6，则称该直线为“B型直线”。给出下列直线：①；②；③；④其中为“B型直线”的是       （填上所有正确的序号）。

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    12．已知，若关于x的方程的取值范围是       。

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    二、选择题（本大题满分16分，每题4分，每题有且只有一个结论是正确的）

    13．已知三条直线a、b、c和平面β，则下列推论中正确的是                                （    ）

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           A．若                   

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           B．若a、

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           C．若     

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           D．若

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    14．若等价于                                                     （    ）

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           A．                       B．

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           C．                                 D．

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    15．函数是增函数的一个充分非必要条件是                 （    ）

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           A．     B．

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    16．如图，过抛物线的焦点F作

    直线交抛物线于A、B两点，M为准线l上任

    意一点，记∠AMF=α，∠BMF=β，∠MFO=θ，

    若AM⊥BM，则|α―β|与θ的大小关系为（    ）

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           A．       B．

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           C．       D．不确定

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    三、解答题：（本大题满分86分）（本大题共6题，解答下列各题必须写出必要的步骤。）

    17．（本题满分12分）

        假设非空集合M是所有以定义域恰为值域的子集的函数为元素构成的。试判断函数

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    和集合M的关系，并说明理由。

     

     

     

     

     

     

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    18．（本题满分12分）

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    19．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。

            如图所示，ABCD是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是一半径为90米的扇形草地，P是弧TS上一点，其余部分都是空地。现开发商想在空地上建造一个有两边分别落在BC和CD上的长方形停车场PQCR。

       （1）设∠PAB=α，长方形PQCR的面积为S，试建立S关于α的函数关系式；

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    20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。

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            在平面直角坐标系中，已知，直线l的方程为：，圆C的方程为

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       （1）若的夹角为60°时，直线l和圆C的位置关系如何？请说明理由；

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       （2）若的夹角为θ，则当直线l和圆C相交时，求θ的取值范围。

     

     

     

     

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    21．（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。

        设函数

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       （1）求a1，a2，a4的值；

       （2）写出an与an―1的一个递推关系式，并求出an关于n的表达式。

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       （3）设数列，整数103是否为数列中的项：若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由。

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    22．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分。

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            如图，已知直线L：的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，点A、F、B直线上的射影依次为点D、K、E。

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       （1）若抛物线的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程；

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       （2）对于（1）中的椭圆C，若直线L交y轴于点M，且当m变化时，求的值；

       （3）连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N点的坐标，并给予证明；否则说明理由。

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    上海市十二校2007―2008学年度高三第二次联考

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    一、填空题：中国数学论坛网 http://www.mathbbs.cn 2008年03月18日正在开通

    1．2   2．11   3．3   4．   5．5   6．―2   7．   8．   9．18

    2,4,6

    二、选择题：

    13．C   14．D   15．D   16．B

    三、解答题：

    17．解：设的定义域为D，值域为A

        由                                                         …………2分

                            …………4分

        又                                                    …………6分

                                                              …………8分

        的定义域D不是值域A的子集

        不属于集合M                                                             …………12分

    18．解：如图建立空间直角坐标系

    ∵由题意可知∠C1AC=60°，C1C=  …………2分

    、、、               …………4分

    即                                …………6分

    设

    则                                           …………8分

                         …………10分

                …………12分

    19．解：（1）                                             …………2分

                                 …………4分

                   …………6分

       （2）设                                        …………8分

    则  …………10分

    （m2）      …………12分

    答：当（m2）   …………14分

    20．解：（1）=3

                                                                    …………2分

    设圆心到直线l的距离为d，则

    即直线l与圆C相离                                                   …………6分

       （2）由  …………8分

    由条件可知，                                        …………10分

    又∵向量的夹角的取值范围是[0，π]

                                                               …………12分

                                                           …………14分

    21．解：（1）

       

                                    …………4分

       （2）                                   …………5分

       

                                                               …………8分

                                          …………10分

       （3）

                                                           …………12分

       

        故103不是数列中的项                                                 …………16分

    22．解：（1）易知                             …………2分

       

                                                    …………4分

       （2）

       

         （*）                                                         …………6分

       

        同理                                                                                        …………8分

       

                                                                             …………10分

       （3）

        先探索，当m=0时，直线L⊥ox轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交于FK中点N

        且                                                                      …………11分

        猜想：当m变化时，AE与BD相交于定点         …………12分

        证明：设

        当m变化时首先AE过定点N

     

       

        ∴KAN=KEN   ∴A、N、E三点共线

        同理可得B、N、D三点共线

        ∴AE与BD相交于定点                                      …………18分

     


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