例1、（06陕西）某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有      种。（600种）

（一）解答题：

1、已知正方体中，分别为的中点，求证：（1）四点共面；（2）若交平面于点，则三点共线。

2、已知，求证：。

3、设，且，求证：。

4、已知：。求证：中至少有一个不大于。

5、已知。求证：（1）；

（2）中至少有一个不小于。

合情推理与演绎推理080626

例1、（07福建）中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果集合中元素之间的一个关系“”满足以下三个条件：

（1）自反性：对于任意，都有；

（2）对称性：对于，若，则有；

（3）传递性：对于，若，，则有．

则称“”是集合的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）．请你再列出三个等价关系：______；

例2、（07上海）对于非零实数，以下四个命题都成立：

① ；     ② ；

③ 若，则；    ④ 若，则．

那么，对于非零复数，仍然成立的命题的所有序号是                ．

（一）选择题：

1、已知中，若，则是（   ）

A、等边三角形       B、钝角三角形        C、锐角三角形         D、直角三角形

分析：右边全变为三角形的边，用三角形余弦定理。选D。

2、如果函数是偶函数，那么函数的图象的一条对称轴是直线（   ）

A、        B、        C、          D、

3、设表示不超过的最大整数，则关于的不等式的解集是（    ）

A、          B、[0，6]         C、[        D、[0，7]

4、是单位正方体，黑、白两个蚂蚁从点出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”。白蚂蚁爬行的路线是，黑蚂蚁爬行的路线是，它们都遵循如下规则：所爬行的第段与第段所在直线必须是异面直线（其中是自然数）。设黑、白蚂蚁都爬完段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白蚂蚁的距离是（   ）

A、1      B、       C、       D、0

5、已知向量，在轴上一点使有最小值，则点的坐标是（    ）

A、      B、（2，0）      C、（3，0）      D、（4，0）

6、是函数在区间（上为减函数的（   ）

A、充分不必要条件　          B、必要不充分条件

C、充要条件　                D、既不充分也不必要条件　

（二）填空题：7、方程的根称为的不动点，若函数有唯一不动点，且，，则              。

数学归纳法0806027

例1、（06安徽21）数列的前项和为，已知

（Ⅰ）写出与的递推关系式，并求关于的表达式；（Ⅱ）设，求数列的前项和。

解：由得：，即，所以，对成立。

由，，…，相加得：，又，所以，当时，也成立。

（Ⅱ）由，得。

而，

，

。

例2、（07广东21）已知函数，是方程的两个根（），是的导数，设，．

（1）求的值；

（2）证明：对任意的正整数，都有；

（3）记，求数列的前项和．

已知函数，是方程f(x)=0的两个根，是f(x)的导数；设，（n=1,2,……）

 （1）求的值；

 （2）证明：对任意的正整数n，都有>a；

（3）记（n=1,2,……），求数列{b_n}的前n项和S_n。

解析：（1）∵，是方程f(x)=0的两个根，

∴；

 （2），

=，∵，∴有基本不等式可知（当且仅当时取等号），∴同，样，……，（n=1,2,……），

 （3），而，即，

，同理，，又

。

例3、（05重庆22）数列满足.

（Ⅰ）用数学归纳法证明：；

（Ⅱ）已知不等式对成立，证明：，其中无理数e=2.71828…。

（Ⅰ）证明：（1）当n=2时，，不等式成立.

   （2）假设当时不等式成立，即

那么.  这就是说，当时不等式成立.

根据（1）、（2）可知：成立.

（Ⅱ）证法一：

由递推公式及（Ⅰ）的结论有

两边取对数并利用已知不等式得

  故 

上式从1到求和可得

即

（Ⅱ）证法二：

由数学归纳法易证成立，故

令

取对数并利用已知不等式得 

上式从2到n求和得 

因

故成立。

（一）选择题：

1、（07上海）设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推 出成立”．那么，下列命题总成立的是（　　）

    Ａ、若成立，则当时，均有成立

    Ｂ、若成立，则当时，均有成立

    Ｃ、若成立，则当时，均有成立

    Ｄ、若成立，则当时，均有成立

（二）解答题：

2、（07湖北21）（I）用数学归纳法证明：当时，；

（II）对于，已知，

求证：，；

（III）求出满足等式的所有正整数。

解法1：（Ⅰ）证：用数学归纳法证明：

（?）当时，原不等式成立；当时，左边，右边，

因为，所以左边右边，原不等式成立；

（?）假设当时，不等式成立，即，则当时，

，，于是在不等式两边同乘以得

，

所以．即当时，不等式也成立．

综合（?）（?）知，对一切正整数，不等式都成立．

（Ⅱ）证：当时，由（Ⅰ）得，

于是，．

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，当时，

，

．

即．即当时，不存在满足该等式的正整数．

故只需要讨论的情形：

当时，，等式不成立；

当时，，等式成立；

当时，，等式成立；

当时，为偶数，而为奇数，故，等式不成立；

当时，同的情形可分析出，等式不成立．

综上，所求的只有．

解法2：（Ⅰ）证：当或时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：

当，且时，，．　　①

（?）当时，左边，右边，因为，所以，即左边右边，不等式①成立；

（?）假设当时，不等式①成立，即，则当时，

因为，所以．又因为，所以．

于是在不等式两边同乘以得

，

所以．即当时，不等式①也成立．

综上所述，所证不等式成立．

（Ⅱ）证：当，时，，，

而由（Ⅰ），，

．

（Ⅲ）解：假设存在正整数使等式成立，

即有．　　　　　②

又由（Ⅱ）可得

，与②式矛盾．

故当时，不存在满足该等式的正整数．

下同解法1．

3、（06陕西22）已知函数，且存在，使。

（I）证明：是上的单调增函数；（II）设，

其中。证明：；（III）证明：。

解: （I）∵f '(x)=3x²－2x+ = 3(x－)²+ >0 ， ∴f(x)是R上的单调增函数．

（II）∵0<x₀< ， 即x₁<x₀<y_1．又f(x)是增函数， ∴f(x₁)<f(x₀)<f(y₁)．即x₂<x₀<y₂．

又x₂=f(x₁)=f(0)=>0 =x₁， y₂=f(y₁)=f()=<=y₁，综上， x₁<x₂<x₀<y₂<y₁．

用数学归纳法证明如下:

(1)当n=1时，上面已证明成立．

(2)假设当n=k(k≥1)时有x_k<x_k+1<x₀<y_k+1<y_k ．

当n=k+1时，由f(x)是单调增函数，有f(x_k)<f(x_k+1)<f(x₀)<f(y_k+1)<f(y_k)，∴x_k+1<x_k+2<x₀<y_k+2<y_k+1

由(1)(2)知对一切n=1，2，…，都有x_n<x_n+1<x₀<y_n+1<y_n．

（III） = = y_n²+x_ny_n+x_n²－(y_n+x_n)+ ≤(y_n+x_n)²－(y_n+x_n)+

  =[(y_n+x_n)－]²+ ． 由(Ⅱ)知 0<y_n+x_n<1．∴－ < y_n+x_n－ < ， ∴ < ()²+ =

4、（06江西22）已知数列满足：，且

（1）求数列的通项公式；

（2）证明：对于一切正整数，不等式。

解：

（1）       将条件变为：1－＝，因此｛1－｝为一个等比数列，其首项为

1－＝，公比，从而1－＝，据此得a_n＝（n³1）…………1°

（2）       证：据1°得，a₁?a₂?…a_n＝

为证a₁?a₂?……a_n<2?n！

只要证nÎN^*时有>…………2°

显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个nÎN^*，有

³1－（）…………3°

用数学归纳法证明3°式：

（i）                    n＝1时，3°式显然成立，

（ii）                  设n＝k时，3°式成立，

即³1－（）

则当n＝k＋1时，

³〔1－（）〕?（）

＝1－（）－＋（）

³1－（＋）即当n＝k＋1时，3°式也成立。

故对一切nÎN^*，3°式都成立。

利用3°得，³1－（）＝1－

＝1－>

故2°式成立，从而结论成立。