1．定义：实现　　 向　　 能转化的装置(在外加电场的作用下使电解质发生氧化还原反应)

15．(2008·北京丰台)已知x＝1是函数f(x)＝mx³－3(m+1)x²+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m<0.

(1)求m与n的关系式；

(2)求f(x)的单调区间；

(3)当x∈[－1,1]时，函数y＝f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．

解：(1)f′(x)＝3mx²－6(m+1)x+n.

∵x＝1是函数f(x)＝mx³－3(m+1)x²+nx+1的一个极值点．

∴f′(1)＝0，即3m－6(m+1)+n＝0.

∴n＝3m+6.

(2)由(1)知f′(x)＝3mx²－6(m+1)x+3m+6＝3m(x－1)，

当m<0时，有1>1+，

所以，当m<0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，在(1，+ ∞)上单调递减．

(3)由已知，得f′(x)>3m，

即mx²－2(m+1)x+2>0.

∵m<0，∴x²－2x+<0，

x∈[－1,1]．(*)

设g(x)＝x²－2x+，函数图象开口向上．

由题意，知(*)式恒成立．

∴

∴∴m>－.

又m<0，∴－<m<0，即m的取值范围为.

14．已知函数y＝f(x)对任意x，y∈R均有f(x)+f(y)＝f(x+y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.

(1)判断并证明f(x)在R上的单调性；

(2)求f(x)在[－3,3]上的最值．

解：(1)f(x)在R上是单调递减函数．

证明如下：

令x＝y＝0，f(0)＝0，令y＝－x可得：

f(－x)＝－f(x)，在R上任取x₁<x₂，

则x₂－x₁>0，

∴f(x₂)－f(x₁)＝f(x₂)+f(－x₁)＝f(x₂－x₁)．

又∵x>0时，f(x)<0，

∴f(x₂－x₁)<0，即f(x₂)<f(x₁)．

由定义可知f(x)在R上为单调递减函数，

(2)∵f(x)在R上是减函数，

∴f(x)在[－3,3]上也是减函数．

∴f(－3)最大，f(3)最小．

f(3)＝f(2)+f(1)＝f(1)+f(1)+f(1)

＝3×(－)＝－2.

∴f(－3)＝－f(3)＝2.

即f(x)在[－3,3]上最大值为2，最小值为－2.

13．(2008·青岛调研)已知f(x)＝(x≠a)．

(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；

(2)若a>0且f(x)在(1，+∞)内单调递减，求a的取值范围．

(1)证明：任设x₁<x₂<－2，

则f(x₁)－f(x₂)＝－

＝.

∵(x₁+2)(x₂+2)>0，x₁－x₂<0，

∴f(x₁)<f(x₂)，

∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．

(2)解：任设1<x₁<x₂，则

f(x₁)－f(x₂)＝－＝

∵a>0，x₂－x₁>0，

∴要使f(x₁)－f(x₂)>0，只需(x₁－a)(x₂－a)>0恒成立，∴a≤1.

综上所述知0<a≤1.

12．(2008·北京市西城区抽样测试)已知函数f(x)＝x|x－2|.

(1)写出f(x)的单调区间；

(2)解不等式f(x)<3.

(3)(理)设a>0，求f(x)在[0，a]上的最大值．

(文)设0<a<2，求f(x)在[0，a]上的最大值．

解：(1)f(x)＝x|x－2|＝

∴f(x)的单调递增区间是(－∞，1]和[2，+∞)；

单调递减区间是[1,2]．

(2)∵x|x－2|<3⇔

或⇔2≤x<3或x<2，

∴不等式f(x)<3的解集为{x|x<3}．

(3)(理)①当0<a<1时，f(x)是[0，a]上的增函数，此时f(x)在[0，a]上的最大值是f(a)＝a(2－a)；

②当1≤a≤2时，f(x)在[0,1]上是增函数，在[1，a]上是减函数，此时f(x)在[0，a]上的最大值是f(1)＝1；

③当a>2时，令f(a)－f(1)＝a(a－2)－1＝a²－2a－1>0，解得a>1+.

ⅰ.当2<a≤1+时，此时f(a)≤f(1)，f(x)在[0，a]上的最大值是f(1)＝1；

ⅱ.当a>1+时，此时f(a)>f(1)，f(x)在[0，a]上的最大值是f(a)＝a(a－2)．

综上，当0<a<1时，f(x)在[0，a]上的最大值是a(2－a)；当1≤a≤1+时，f(x)在[0，a]上的最大值是1；当a>1+时，f(x)在[0，a]上的最大值是a(a－2)．

(文)①当0<a<1时，f(x)是[0，a]上的增函数，此时f(x)在[0，a]上的最大值是f(a)＝a(2－a)；

②当1≤a<2时，f(x)在[0,1]上是增函数，在[1，a]上是减函数，此时f(x)在[0，a]上的最大值是f(1)＝1.

11．(2008·西北工大附中三模)函数f(x)＝log_a－1(a+3－ax)在(0,3)上单调递增，则a∈________.

答案：

解析：设g(x)＝a+3－ax，则根据题意

得1<a≤，故填.

10．若f(x)＝－x²+2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是________．

答案：(0,1]

解析：f(x)＝－(x－a)²+a²，当a≤1时，f(x)在[1,2]上是减函数，g(x)＝，当a>0时，g(x)在[1,2]上是减函数，则a的取值范围是0<a≤1.

9．(2009·北京市东城区质检)函数y＝log(x²－3x)的单调递减区间是________．

答案：(3，+∞)

解析：函数t＝x²－3x(t>0)的单调递增区间是(3，+∞)，由复合函数的单调性判断法则，函数y＝log(x²－3x)的单调递减区间是(3，+∞)．

8．已知f(x)＝是R上的增函数，那么a的取值范围是(　)

A．(1，+∞)　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．(1，]

C．(1,2)　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．[，2)

答案：D

解析：依题意得

解得a的取值范围是≤a<2，故选D.

7．(2008·重庆一模)设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x∈(0,1)时，f(x)＝log(1－x)，则函数f(x)在(1,2)上(　)

A．是增函数，且f(x)<0　 　　　　　　　　　　　　　　　 B．是增函数，且f(x)>0

C．是减函数，且f(x)<0　 　　　　　　　　　　　　　　　 D．是减函数，且f(x)>0

答案：D

解析：f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，由x∈(0,1)时，f(x)＝log(1－x)为增函数且f(x)>0得函数f(x)在(2,3)上也为增函数且f(x)>0，而直线x＝2为函数的对称轴，则函数f(x)在(1,2)上是减函数，且f(x)>0，故选D.