14. 设复数z=+，

问当x为何实数时，z是⑴实数， ⑵ 虚数，　 ⑶ 纯虚数，　 ⑷ z在复平面上对应的点在实轴上方，⑸|z|=1

解：⑴当，即x=a或时z为实数；

⑵当，即且时z为虚数；

⑶当＝0且，即x=1时z为纯虚数

⑷.若0<a<1，则0<x<a或x>；若a>1，则x>a或0<x<时z对应的点在实轴上方；

⑸当+＝1即x=1时，|z|=1

[探索题]设z是虚数，ω=z+是实数，且－1＜ω＜2

(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；

(2)设u=，求证：u为纯虚数；

(3)求ω－u²的最小值

解(1)：设z=a+bi(a、b∈R，b≠0)，

则ω=a+bi+=(a+)+(b－)i

∵ω是实数，b≠0，

∴a²+b²=1，即|z|=1

∵ω=2a，－1＜ω＜2，

∴z的实部的取值范围是(－，1)

(2)证明：u==

= =－i

∵a∈(－，1)，b≠0，

∴u为纯虚数

(3)解：ω－u²=2a+

=2a－1+

=2［(a+1)+］－3

∵a∈(－，1)，∴a+1＞0

∴ω－u²≥2×2－3=1

当a+1=，即a=0时，上式取等号

∴ω－u²的最小值为1

13. 已知，且复数的虚部减去它的实部所得的差等于，求复数的模；

解.

即

12. 已知复数当求a的取值范围，

解：

因

故a的取值范围是

11.已知z是复数，z+2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z+ai)²在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围

解：设z=x+yi(x、y∈R)，

∴z+2i=x+(y+2)i，由题意得y=－2

==(x－2i)(2+i)=(2x+2)+ (x－4)i

由题意得x=4，∴z=4－2i

∵(z+ai)²=(12+4a－a²)+8(a－2)i，

根据条件，已知解得2＜a＜6，

∴实数a的取值范围是(2，6)

10.若复数(a∈R，i为虚数单位位)是纯虚数，则实数a的值为_____　

◆练习简答:1-4.DDDB; 　5.-i ;　 6.0; 7.; 8.; 9.; 10.-6.

[解答题]

9.若 , ，且为纯虚数，则实数a的值为___　　　 ．

8.(2005全国Ⅲ).已知复数z₀=3+2i, 复数z满足zz₀=3z+z₀，则z=　　　　

7.(2006广东) 若复数满足方程，则_______

6. (2005湖南)复数z＝i+i²+i³+i⁴+……+i²⁰⁰⁸_{=__________}

5.(2005全国Ⅰ)复数的共轭复数是 ________