11.如下图,四面体ABCD中,E、G分别为BC、AB的中点,F在CD上,H在AD上,且有DF∶FC=2∶3,DH∶HA=2∶3. 求证:EF、GH、BD交于一点.
证明:连结GE、HF,
∵E、G分别为BC、AB的中点,
∴GE∥AC.
又∵DF∶FC=2∶3,DH∶HA=2∶3,
∴HF∥AC.∴GE∥HF.故G、E、F、H四点共面.
又∵EF与GH不能平行,∴EF与GH相交,设交点为O.
则O∈面ABD,O∈面BCD,而平面ABD∩平面BCD=BD.∴EF、GH、BD交于一点.
[探索题]设△ABC和△A1B1C1的三对对应顶点的连线AA1、BB1、CC1相交于一点O,且=== .试求的值.
[探索题]解:依题意,因为AA1、BB1、CC1相交于一点O,且==,所以AB∥A1B1,
AC∥A1C1,BC∥B1C1.由平移角定理得
∠BAC=∠B1A1C1,∠ABC=∠A1B1C1,△ABC∽△A1B1C1,所以=()2=.
10.(2006上海春)在长方体中,已知,求异面直线与所成角的大小(结果用反三角函数值表示).
解:连接,则为异面直线与所成的角.在△中,
.
异面直线所成的角为.
9.已知正四面体ABCD中,BC的中点为E,AD的中点为F,连AE、CF.(1)判断AE、CF的位置关系;(2)求AE与CF所成的角的余弦.
答案:
6.异面直线. 7.; 8. .
[解答题]
8.两条异面直线、间的距离是1cm,它们所成的角为600,、上各有一点A、B,距公垂线的垂足都是10cm,则A、B两点间的距离为_______________.
◆答案提示:1-4. DCCD 5.0、1、2、3四种.
7.在棱长为的正四面体中,相对两条棱间的距离为__________.
6.已知a∥c,b与c不平行、 a与b不相交,a,b的位置关系是
5.互不重合的三个平面的交线可能有__________条.
3.AB、CD在平面α内,AB//CD,且AB与CD相距28厘米,EF在平面α外,EF//AB,且EF与AB相距17厘米,EF与平面α相距15厘米,则EF与CD的距离为 ( )
A.25厘米 B.39厘米 C.25或39厘米 D.15厘米 4.已知直线a,如果直线b同时满足条件:
①a、b异面②a、b所成的角为定值
③a、b间的距离为定值,则这样的直线b有
A.1条 B.2条 C.4条 D.无数条 ( )
[填空题]
2.在正方体中,、分别是棱和的中点,为上底面的中心,则直线与所成的角为 ( )
A.300 B.450 C.600 D.900
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