2、江苏省阜中2008届高三第三次调研考试试题

已知O为坐标原点, 集合,且　　　　　 .46

3. 已知,,,。

　 (1)求；

　 (2)设∠BAC＝θ，且已知cos(θ+x)＝ ，，求sinx

解：(1)由已知

　 ∴

　 ∵　 ∴CD⊥AB，在Rt△BCD中BC²=BD²+CD²,　　　

　　 又CD²=AC²－AD², 所以BC²=BD²+AC²－AD²=49，　　　　 ……4分

所以　　　　　　　　　　　　　　 ……6分

(2)在△ABC中，　　 ∴　　　　　　　 ……8分

　　 而　　 如果，

则　　 ∴　　　　　 ……10分

点评：对于平面向量的数量积要学会技巧性应用，解决好实际问题.

题型3：向量的模

例5．(1)已知向量与的夹角为，则等于(　 )

　 A．5　　B．4　　C．3　　D．1

(2)(2009辽宁卷文)平面向量a与b的夹角为，a＝(2,0), | b |＝1，则 | a+2b |等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

A.　　 　 　　　 　　　 　　B.2　 　　　 　　　　C.4　　　　 　　　　 　D.12

解析　 由已知|a|＝2,|a+2b|²＝a²+4a·b+4b²＝4+4×2×1×cos60°+4＝12

∴

解析：(1)B；(2)B

点评：掌握向量数量积的逆运算，以及。

例6．已知＝(3，4)，＝(4，3)，求x,y的值使(x+y)⊥，且｜x+y｜=1。

解析：由＝(3，4)，＝(4，3)，有x+y=(3x+4y,4x+3y)；

又(x+y)⊥(x+y)·＝03(3x+4y)+4(4x+3y)=0；

即25x+24y＝0　　　　　　　　　　　 ①；

又｜x+y｜=1｜x+y｜²＝1；

(3x+4y)²+(4x+3y)²＝1；

整理得25x²+48xy+25y²＝1即x(25x+24y)+24xy+25y²＝1　　 ②；

由①②有24xy+25y²＝1　　　　　　　 ③；

将①变形代入③可得：y=±；

再代回①得：。

点评：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想。

题型4：向量垂直、平行的判定

例7．已知向量，，且，则　　　 。

解析：∵，∴，∴，∴。

例8．已知，，，按下列条件求实数的值。(1)；(2)；。

解析：

(1)；

(2)；

。

点评：此例展示了向量在坐标形式下的平行、垂直、模的基本运算.

题型5：平面向量在代数中的应用

例9．已知。

　　 分析：，可以看作向量的模的平方，而则是、的数量积，从而运用数量积的性质证出该不等式。

　　 证明：设

　　 则。

点评：在向量这部分内容的学习过程中，我们接触了不少含不等式结构的式子，如等。

例10．已知，其中。

　　 (1)求证：与互相垂直；

　　 (2)若与()的长度相等，求。

解析：(1)因为

　　 所以与互相垂直。

　　 (2)，

　　 ，

　　 所以，

　　 ，

　　 因为，

　　 所以，

　　 有，

　　 因为，故，

　　 又因为，

所以。

点评：平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系。如果在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性。若根据所给的三角式的结构及向量间的相互关系进行处理。可使解题过程得到简化，从而提高解题的速度。

题型6：平面向量在几何图形中的应用

例12．用向量法证明：直径所对的圆周角是直角。

已知：如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上任一点(不与A、B重合)，求证：∠APB＝90°。

证明：联结OP，设向量，则且，

，即∠APB＝90°。

点评：平面向量是一个解决数学问题的很好工具，它具有良好的运算和清晰的几何意义。在数学的各个分支和相关学科中有着广泛的应用。

题型7：平面向量在物理中的应用

例13．如图所示，正六边形PABCDE的边长为b，有五个力、作用于同一点P，求五个力的合力.

解析：所求五个力的合力为，如图3所示，以PA、PE为边作平行四边形PAOE，则，由正六边形的性质可知，且O点在PC上，以PB、PD为边作平行四边形PBFD，则，由正六边形的性质可知，且F点在PC的延长线上。

由正六边形的性质还可求得

故由向量的加法可知所求五个力的合力的大小为，方向与的方向相同。

课后训练：

(2009北京卷理)已知向量a、b不共线，cabR),dab,如果cd，那么 (　 )

　 A．且c与d同向　　　　　　　　　　　 B．且c与d反向

　　 C．且c与d同向　　　　　　　　　　 D．且c与d反向

答案　 D

解析　 本题主要考查向量的共线(平行)、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考

查.

　 取a，b，若，则cab，dab，

　 显然，a与b不平行，排除A、B.

　 若，则cab，dab，

即cd且c与d反向，排除C，故选D.

题型1：数量积的概念

例1．判断下列各命题正确与否：

(1)；

(2)；

(3)若，则；

(4)若，则当且仅当时成立；

(5)对任意向量都成立；

(6)对任意向量，有。

解析：(1)错；(2)对；(3)错；(4)错；(5)错；(6)对。

点评：通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别于联系，重点清楚为零向量，而为零.

例2．　 已知△中，过重心的直线交边于，交边于，设△的面积为，△的面积为，，，则(ⅰ) (ⅱ)的取值范围是　　　　　　　 .

[解析]设，，，，因为是△的重心，故

，又，，因为与共线，所以，即，又与不共线，所以及，消去，得.

(ⅰ)，故；

(ⅱ)，那么

，当与重合时，，当位于中点时，

，故，故但因为与不能重合，故

(2)设、、是任意的非零平面向量,且相互不共线,则

①(·)－(·)=　 ②||－||<|－|　 ③(·)－(·)不与垂直

④(3+2)(3－2)=9||²－4||²中，是真命题的有(　　 )

A.①②　 　　　　　　　　　 B.②③　 　　　　　　　　　　 C.③④　 　　　　　　　　　　 D.②④

解析：(1)答案：D；因为，而；而方向与方向不一定同向.

(2)答案：D①平面向量的数量积不满足结合律。故①假；②由向量的减法运算可知||、||、|－|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故②真；③因为［(·)－(·)］·=(·)·－(·)·=0，所以垂直.故③假；④(3+2)(3－2)=9··－4·=9||²－4||²成立。故④真。

点评：本题考查平面向量的数量积及运算律，向量的数量积运算不满足结合律。

题型2：向量的夹角

例3．(1)过△ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D、E．若，，，则的值为(　　 )

(A)4　　 (B)3　 (C)2　　 (D)1

解析：取△ABC为正三角形易得＝3．选B．

评析：本题考查向量的有关知识，如果按常规方法就比较难处理，但是用特殊值的思想就比较容易处理，考查学生灵活处理问题的能力．

(2)已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且，那么与的夹角的大小是　　　　　　　　　　　 。

(3)已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角。

(4)| |=1，| 　|=2，= + ，且⊥，则向量与的夹角为　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．30°　　　　　　　　　 B．60°　　　　　　　　　 C．120°　　　　　　　　 D．150°

解析：(2)；

(3)由题意，，且与的夹角为，

所以，，

，

，

同理可得。

而，

设为与的夹角，

则。

(4)C；设所求两向量的夹角为

　　　 　即：

所以

点评：解决向量的夹角问题时要借助于公式，要掌握向量坐标形式的运算。向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。对于这个公式的变形应用应该做到熟练，另外向量垂直(平行)的充要条件必需掌握.

例4．(1)设平面向量、、的和。如果向量、、，满足，且顺时针旋转后与同向，其中，则(　　 )

A．－++=　　　　　　　　　　 B．-+=

C．+-=　　　　　　　　　　　 D．++=

(2)(2009广东卷理)已知向量与互相垂直，其中．

(1)求和的值；

(2)若，求的值．　　　　　　

解　 (1)∵与互相垂直，则，即，代入得，又，

∴.

(2)∵，，∴，

则，

2、(山东临沂2009年模拟)如图，已知△ABC中，|AC|=1,∠ABC=,∠BAC=θ,记。

(1)　　　 求关于θ的表达式;

(2)　　　 求的值域。

解：(1)由正弦定理，得

(2)由，得

∴，即的值域为_.

2．向量的应用

(1)向量在几何中的应用；

(2)向量在物理中的应用。

1．向量的数量积

(1)两个非零向量的夹角

已知非零向量a与a，作＝，＝，则∠AOA＝θ(0≤θ≤π)叫与的夹角；

说明：(1)当θ＝0时，与同向；

(2)当θ＝π时，与反向；

(3)当θ＝时，与垂直，记⊥；

(4)注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0°≤q≤180°。

(2)数量积的概念

已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos叫做与的数量积(或内积)。规定；

向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影。投影的绝对值称为射影；

(3)数量积的几何意义： ·等于的长度与在方向上的投影的乘积.

(4)向量数量积的性质

①向量的模与平方的关系：。

②乘法公式成立

；

；

③平面向量数量积的运算律

交换律成立：；

对实数的结合律成立：；

分配律成立：。

④向量的夹角：cos==。

当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=0⁰，当且仅当与反方向时θ=180⁰，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题.

(5)两个向量的数量积的坐标运算

已知两个向量，则·=。

(6)垂直：如果与的夹角为90⁰则称与垂直，记作⊥。

两个非零向量垂直的充要条件：⊥·＝O，平面向量数量积的性质。

(7)平面内两点间的距离公式

设，则或。

如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式) .

本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念及应用。重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值5~9分。

平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主.

预测2010年高考：

(1)一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题；属于中档题目.

(2)一道解答题，可能以三角、数列、解析几何为载体，考察向量的运算和性质；

2．向量的应用

经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。

1．平面向量的数量积

①通过物理中"功"等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；

②体会平面向量的数量积与向量投影的关系；

③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；

④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

32.(3分)世界卫生组织已把铝列为食品污染源之一，规定每人每天的摄入量控制在0.004g以下。若在1 kg的米面食品中加入2 g明矾(明矾的化学式：KAl(SO₄)₂·12H₂O)，那么某人一天如果吃了100 g上述米面食品，通过计算说明他摄入的铝的量是否在安全范围之内。

31.(3分)实验室用回收的60 g 10%的稀硫酸和98%的浓硫酸(密度：1.84g·cm^－3)配制30%的硫酸溶液，需取浓硫酸多少毫升？可配得30%的硫酸多少克？