20．(本小题满分12分)(1)求证：≤2(n∈N^*)；

(2)求证：(1+x)ⁿ+(1－x)ⁿ<2ⁿ，其中|x|<1，n≥2，n∈N^*.

证明：(1)要证≤2(n∈N^*)，只需证n+1≤2ⁿ即可．∵2ⁿ＝(1+1)ⁿ＝C+C+…+C≥C+C＝1+n，∴≤2(n∈N^*)，当n＝1时等号成立．

(2)(1+x)ⁿ+(1－x)ⁿ＝2(1+Cx²+Cx⁴+…+C·x^2k+…)．∵|x|<1，∴0<x^2k<1.

∴(1+x)ⁿ+(1－x)ⁿ<2(1+C+C+…+C+…)＝2·2^n－1＝2ⁿ，成立．

19．(本小题满分12分)球台上有4个黄球，6个红球，击黄球入袋记2分，击红球入袋记1分，欲将此十球中的4球击入袋中，但总分不低于5分，则击球方法有几种？

解：设击入黄球x个，红球y个符合要求，

则有(x，y∈N)，

由题意，得1≤x≤4，

∴相应每组解(x，y)，击球方法数分别为CC，CC，CC，CC.∴共有不同击球方法数为CC+CC+CC+CC＝195.

18．(本小题满分12分)已知在ⁿ的展开式中，第6项为常数项．

(1)求n；

(2)求含x²的项的系数；

(3)求展开式中所有的有理项．

解：(1)通项公式为T_r+1＝Cx(－)^rx－

＝C(－)^rx，

因为第6项为常数项，所以r＝5时，

有＝0，即n＝10.

(2)令＝2，得r＝(n－6)＝2，

∴所求的系数为C(－)²＝.

(3)根据通项公式，由题意得

令＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r＝5－k，

∵r∈Z，∴k应为偶数．

∴k可取2,0，－2，即r可取2,5,8.

所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为T₃＝x²，T₆＝，T₉＝x^－2.

17．(本小题满分10分)在一块10垄并排的田地中，选2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的种植方法共有多少种？

解法一：(图示法)如图(1)，用并排一行的10个小矩形表示10垄田地，小矩形内加“○”表示选中，具体画出有6种选取方法．再对每种选取方式分别种植A、B两种作物，有A种种植方法．

故共有6A＝12种种植方法．

(1)

(2)

解法二：(图象法)设并排10垄田地依次编号为1,2,3，…，10，所选的垄田地为a、b，根据题设条件，得

问题的解化为不等式组的整数解的个数．如图(2)所示，满足不等式组的解为坐标平面aOb内标有“·”号的整点，数整点个数有12个，故符合题意的选垄方法有12种．

16.⁸的展开式中x²的系数是70，则实数a的值为________．

答案：±1

解析：T_k+1＝C(ax)^8－k(－)^k

＝Ca^8－kx8－k－(－1)^k，

令8－k－＝2，得k＝4，

∴Ca⁴(－1)⁴＝70，∴a⁴＝1，∴a＝±1.

15．(2008·陕西理)某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成，如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有________种．(用数字作答)

答案：96

解析：先安排最后一棒(A)，再安排第一棒(A)，最后安排中间四棒(A)，∴不同的传递方案有AAA＝96(种)．

14．已知(1+x)+(1+x)²+(1+x)³+…+(1+x)⁸＝a₀+a₁x+…+a₈x⁸，则a₁+a₂+a₃+…+a₈＝________.

答案：502

解析：令x＝1得a₀+a₁+a₂+…+a₈

＝2+2²+2³+…+2⁸＝

＝2⁹－2＝510.

令x＝0，得a₀＝8，∴a₁+a₂+…+a₈＝502.

13．在(x－)⁹的展开式中，x³的系数为________(用数字作答)．

答案：－

解析：T_k+1＝Cx^9－k(－)^k＝Cx^9－k(－)^kx^－k

＝Cx^9－2k(－)^k，

令9－2k＝3，得k＝3，

∴T₄＝Cx³·(－)³＝84×(－)x³＝－x³，

∴x³的系数为－.

12．圆周上有12个不同的点，过其中任意两点作弦，这些弦在圆内的交点个数最多有(　)

A．A　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．A·A

C．C·C 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．C

答案：D

解析：圆周上任意四个点连线的交点都在圆内，此四点的选法有C，则由这四点确定的圆内的交点个数为1，所以这12个点所确定的弦在圆内交点的个数最多为C.故选D.

11．(2009·昆明市质检)某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有(　)

A．56种　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．68种

C．74种　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．92种

答案：D

解析：本题是计数问题，根据特殊(或受限)元素进行分类，如本题属于“多面手”问题，根据划左舷中有多面手人数的多少进行分类：划左舷中没有“多面手”的选派方法有C种，有一个“多面手”的选派方法有CCC种，有两个“多面手”的选派方法有CC种，即共有20+60+12＝92(种)．故选D.