（一）必做题：第9、10、11、12题为必做题，每道试题考生都必须做答

9.已知，则当取最大值时，=_____________.

10.已知数列的前项和，则当时，=______.

11．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机

抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数

量的分组区间为，

,由此得到频率分布直方图如

图,则由此估计该厂工人一天生产该产品数量在

的人数约占该厂工人总数的百分率是　　　.

12.已知是抛物线和直线围成的封闭区域(包括边界)内的点，则的最小值为 ___________.

（二）选做题：第13、14、15题为选做题，考生只能选做两题，三题全答的，只计算前两题的得分．

13.设为正数,且 则的最大值是___________.

14.已知过曲线上一点P，原点为O，直线PO的倾斜角为，则点坐标是___________.

15.如图,是两圆的交点,是小圆的直径,和

分别是和的延长线与大圆的交点,

已知,且,

则=___________.

16．（本小题满分12分）

在△中，分别是内角的对边,且．

(Ⅰ) 求；   

 (Ⅱ) 求的长.

17．（本小题满分12分）

某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到抽奖券一张，每张抽奖券的中奖概率为，若中奖，商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2300的台式电脑一台，得到奖券4张.

(Ⅰ)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为，求的分布列；

(Ⅱ)设该顾客购买台式电脑的实际支出为（元），用表示，并求的数学期望.

18．（本小题满分14分）

如图一，平面四边形关于直线对称，．

把沿折起（如图二），使二面角的余弦值等于．对于图二，完成以下各小题：

（Ⅰ）求两点间的距离；

（Ⅱ）证明：平面；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．

19．（本题满分14分）

已知是以点为圆心的圆上的动点，定点.点在上，点在上，且满足．动点的轨迹为曲线.

    （Ⅰ）求曲线的方程；

(Ⅱ)线段是曲线的长为的动弦，为坐标原点，求面积的取值范围.

20．（本题满分14分）

已知数列满足：，且（）．

（Ⅰ）求证：数列为等差数列；

（Ⅱ）求数列的通项公式；

（Ⅲ）求下表中前行所有数的和．　

21．（本题满分14分）

已知函数(常数.

(Ⅰ) 当时，求曲线在点处的切线方程；

(Ⅱ)讨论函数在区间上零点的个数（为自然对数的底数）.

2009年深圳市高三年级第二次调研考试

数学(理科)答案及评分标准

说明：

1

2

3

4

5

6

7

8

C

A

A

B

D

C

A

D

  9．．              10．．             11． 52.5％．          12． .

 13．．          14． ．             15．．

16．（本小题满分12分）

在△中，分别是内角的对边,且．

(Ⅰ) 求；   

 (Ⅱ) 求的长.

解：(Ⅰ)在中，

.

.       …………………………2分

从而                     …………………………6分

∴……9分

(Ⅱ)由正弦定理可得

，

                                    …………………………12分

17．（本小题满分12分）

某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到抽奖券一张，每张抽奖券的中奖概率为，若中奖，商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2300的台式电脑一台，得到奖券4张.

(Ⅰ)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为，求的分布列；

(Ⅱ)设该顾客购买台式电脑的实际支出为（元），用表示，并求的数学期望.

解：(Ⅰ)的所有可能值为0，1，2，3，4.…………………………1分

，

，

，

.                  　　　　　   　  ……………………4分

其分布列为：

0

1

2

3

4

…………………………6分

 (Ⅱ)，

 .                            　　　　   …………………………8分

由题意可知

，                       　　　　　   …………………………10分

元.   　　　　  …………………………12分

18．如图一，平面四边形关于直线对称，．把沿折起（如图二），使二面角的余弦值等于．对于图二，完成以下各小题：

（Ⅰ）求两点间的距离；

（Ⅱ）证明：平面；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．

　　　　　　（图一）　　　　　　　　　　　　　　　　　　（图二）

解：（Ⅰ）取的中点，连接，

由，得：

就是二面角的平面角，

                               …………………………2分

在中，

                                           …………………………4 分                                                                                                                                                                     

（Ⅱ）由，

                            …………………………6分

，                          

又

平面．                              　 …………………………8分

（Ⅲ）方法一：由（Ⅰ）知平面

平面

∴平面平面     　　　　　　　　　　　　　…………………………10分

平面平面，

作交于，则平面，

就是与平面所成的角，         　　　　…………………………12分

．                       …………………………14分

方法二：设点到平面的距离为，

∵                                　　　　　　　…………………10分

                                    　　　　　　……………………12分

于是与平面所成角的正弦为

．                             　　　　　………………………14分

方法三：以所在直线分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系，则

．  ………10分

设平面的法向量为n，则

n， n，

取，则n，       ----------12分

于是与平面所成角的正弦即

．   ……………14分

19．(本题满分14分)

已知是以点为圆心的圆上的动点，定点.点在上，点在上，且满足．动点的轨迹为曲线.

    （Ⅰ）求曲线的方程；

(Ⅱ)线段是曲线的长为的动弦，为坐标原点，求面积的取值范围.

解：（Ⅰ）

∴为的垂直平分线，∴,

又    ………………………………3分

∴动点的轨迹是以点为焦点的长轴为的椭圆.

∴轨迹E的方程为………………………………………………………5分

(Ⅱ) 解法一∵线段的长等于椭圆短轴的长，要使三点能构成三角形，则弦不能与轴垂直，故可设直线的方程为，

由，消去，并整理，得

设，，则

，  …………………………………………8分

，

，               ………………………………………………………11分

.　　　　　　　　　　　　　　　………………………………………………12分

又点到直线的距离，

　………………………………………………13分

，

.          　　　　　　　…………………………………………14分

解法二：∵线段的长等于椭圆短轴的长，要使三点能构成三角形，则弦不能与轴垂直，故可设直线的方程为，

由，消去，并整理，得

设，，则

，  …………………………………………8分

，

                 ………………………………………………………11分

又点到直线的距离，

设，则

，

.          ……………………………………………………14分

（注：上述两种解法用均值不等式求解可参照此标准给分）

20．(本题满分14分)

已知数列满足：，且（）．

（Ⅰ）求证：数列为等差数列；

（Ⅱ）求数列的通项公式；

（Ⅲ）求下表中前行所有数的和．

解：（Ⅰ）由条件，，得

           ……………………………………2分

∴ 数列为等差数列．                   ……………………………………3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得     ……………………………………4分

∴     ……………………………………7分

∴                               …………………………………… 8分

（Ⅲ）   ()  ………………………10分

∴  第行各数之和

       （）……………………12分     

∴ 表中前行所有数的和

.                          ……………………14分

21. (本题满分14分)

已知函数(常数.

(Ⅰ) 当时，求曲线在点处的切线方程；

(Ⅱ)讨论函数在区间上零点的个数（为自然对数的底数）.

解：(Ⅰ)当 时，

.                                   …………………………1分

.             

又，                         

∴曲线在点处的切线方程为.

即.                                     ……………………………3分

(Ⅱ)（1）下面先证明：．

设　，则

，

且仅当，

所以，在上是增函数，故

．

所以，，即．　　　　　　　　　……………………………5分

（2）因为，所以

 .          

因为当时，，当时，.

又，

所以在上是减函数，在上是增函数.

所以，        　　　　　　…………………………9分

（3）下面讨论函数的零点情况．

①当，即时，函数在上无零点；　

②)当，即时，，则

而，

∴在上有一个零点；  

③当，即时， ,

由于，，

，

所以，函数在上有两个零点.　　　　……………………………………13分

综上所述，在上，我们有结论：当时，函数无零点；当时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点.            ………………………………14分

解法二：(Ⅱ)依题意，可知函数的定义域为，

 .           ………………………………………5分

∴当时，，当时，.

在上是减函数，在上是增函数.

         ………………………………………6分

设（，常数.

∴当时，

且仅当时，

在上是增函数.

∴当时，，

∴当时，

取，得由此得.        ………………………………9分

取得由此得

. 　     …………………………10分

(1)当，即时，函数无零点；　  ………………………11分

(2)当，即时，，则

而，

∴函数有一个零点；                         ………………………………12分

(3)当，即时， .

而，

∴函数有两个零点.                    ………………………………………13分

综上所述，当时，函数无零点，当时，函数有一个零点，当时，函数有两个零点.                             ………………14分

　　　　　　　　　　　　命题人：李志敏、胡远东、张松柏　　　审题人：石永生