11.命题“若a＞2，则a²＞4”的逆否命题可表述为：若 a²≤4，则a≤2 .

12.抛物线y²＋12x＝0的准线方程是 x＝3 .

13.设条件p：0＜x＜4；条件q：|x－1|＜a，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是

 [3，＋∞）.

14.如图，l，m为异面直线，点A，B在直线l上，点C，D在直线m上，

已知AC⊥m，BD⊥m，且AB＝2，CD＝1，则  1  ；

直线l与m所成的角为  60°.

15.已知动点M分别与两定点A(1，0)，B(－1，0)的连线的斜率之积为定值m(m≠0)，若点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆(除去点A、B)，则m的取值范围是（－1，0）；若点M的轨迹是离心率为2的双曲线(除去点A、B)，则m的值为  3  .

16.(本小题满分6分)

    已知含有量词的两个命题p和q，其中命题p：任何实数的平方都大于零；命题q：二元一次方程2x＋y＝3有整数解.

（Ⅰ）用符号“”与“”分别表示命题p和q；

（Ⅱ）判断命题“(?p)∧q”的真假，并说明理由.

【解】（Ⅰ）命题p：x∈R，x²＞0；                                               （1分）

命题q：x₀∈Z且y₀∈Z，2x₀＋y₀＝3.                                   （3分）

（Ⅱ）因为当x＝0时，x²＝0，所以命题p为假命题，从而命题?p为真命题.             （4分）

      因为当x₀＝2，y₀＝－1时，2x₀＋y₀＝3，所以命题q为真命题.                     （5分）

      故命题“(?p)∧q”是真命题.                                                                                     （6分）

17.(本小题满分8分)

   在空间直角坐标系中，已知三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5).

（Ⅰ）求〈〉的大小；

（Ⅱ）设直线AB与坐标平面xOy的交点为D，求C，D两点间的距离.

【解】（Ⅰ）由已知，得(－2，－1，3)，(－1，3，－2).                   （1分）

  则2?3?6＝－7. .                                 （2分）

  所以cos〈〉＝.                         （3分）

  故〈〉＝120°.                                                          （4分）

（Ⅱ）设点D(x，y，0)，则(x，y－2，－3).                                   （5分）

  因为向量与共线，设，则(x，y－2，－3)＝λ(－2，－1，3).      （6分）

  于是，所以点D(2，3，0).                               （7分）

  故，即C，D两点间的距离是.     （8分）

18.(本小题满分8分)

     已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，点F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上一点.若椭圆的离心率为，且△PF₁F₂的周长为16.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过椭圆左顶点作直线l，若动点M到椭圆右焦点的距离

比它到直线l的距离小4，求点M的轨迹方程.

【解】（Ⅰ）设椭圆的半长轴长为a，半短轴长为b，半焦距为c，

则|PF₁|＋|PF₂|＝2a，|F₁F₂|＝2c.                                                 （1分）

因为△PF₁F₂的周长为16，即|PF₁|＋|PF₂|＋|F₁F₂|＝16，所以2a＋2c＝16，即a＋c＝8.（2分）

   又，即a＝3c，从而4c＝8，所以c＝2，a＝6，b²＝a²－c²＝36－4＝32.          （3分）

   因为椭圆的焦点在x轴上，故椭圆的标准方程是.                       （4分）

（Ⅱ）法一：因为a＝6，所以直线l的方程为x＝－6，又c＝2，所以右焦点为F₂(2，0).  （5分）

过点M作直线l的垂线，垂足为H，由题设，|MF₂|＝|MH|－4.

   设点M(x，y)，则.                         （6分）

两边平方，得，即y²＝8x.                                （7分）

故点M的轨迹方程是y²＝8x.                                                    （8分）

   法二：因为a＝6，c＝2，所以a－c＝4，从而椭圆左焦点F₁到直线l的距离为4.         （5分）

由题设，动点M到椭圆右焦点的距离与它到直线x＝－2的距离相等，所以点M的轨迹是以右焦点为F₂(2，0)为焦点，直线x＝－2为准线的抛物线.                                   （7分）

显然抛物线的顶点在坐标原点，且p＝|F₁F₂|＝4，故点M的轨迹方程是y²＝8x.        （8分）

19.(本小题满分8分)

    如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝AC＝AA₁＝1，∠BAC＝90°，试用向量方法解决下列问题.

（Ⅰ）求点C₁到平面AB₁C的距离；

（Ⅱ）求二面角A₁－B₁C－A的大小.

【解】（Ⅰ）因为AA₁⊥平面ABC， AB⊥AC，分别以AB，

AC，AA₁为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.                                   （1分）

   因为AB＝AC＝AA₁＝1，则点C(0，1，0)，B₁(1，0，1)，

C₁(0，1，1)，所以＝(1，0，1)，＝(0，1，0).                              （2分）

设＝(x，y，z)为平面AB₁C的法向量，则

，即. 取x＝1，则＝(1，0，－1).                         （3分）

    又＝(0，0，－1)，故点C₁到平面AB₁C的距离.   （4分）

（Ⅱ）因为点A₁(0，0，1)，所以＝(0，－1，1)，＝(1，－1，1).              （5分）

设＝(x，y，z)为平面A₁B₁C的法向量，则

，即.取z＝1，则＝(0，1，1).                       （6分）

因为＝(1，0，－1)，则，

所以.                                                           （7分）

由图知，二面角A₁－B₁C－A的平面角为锐角，故二面角A₁－B₁C－A的大小为60°.     （8分）

20.(本小题满分10分)  

已知双曲线的焦点在x轴上，两渐近线方程为，点A、B在双曲线上，且关于直线       x＋y＋2＝0对称，|AB|＝.

（Ⅰ）求线段AB的中点C的坐标；

（Ⅱ）求这双曲线的方程；

（Ⅲ）过点(0，1)作直线l与双曲线的左、右两支分别相交于P、Q两点，点M(0，－1)为定点，试推断是否存在直线l，使？若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由.

【解】（Ⅰ）设双曲线方程为3x²－y²＝λ（λ＞0），点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，C(x₀，y₀)，则

，即3(x₁－x₂)(x₁＋x₂)＝(y₁－y₂)(y₁＋y₂).    （1分）

  因为点A、B关于直线x＋y＋2＝0对称，所以，即.

  又C为AB的中点，所以x₁＋x₂＝2x₀，y₁＋y₂＝2y₀. 于是有3x₀＝y₀.                 （2分）

  因为点C在直线x＋y＋2＝0上，所以x₀＋y₀＋2＝0.

于是4 x₀＋2＝0，即，从而，故点.                 （3分）

 （Ⅱ）因为|AB|＝，所以|AC|＝，于是，即x₁＝1.  （4分）

  又，即，所以.         （5分）

因为点A(1，0)在双曲线上，所以λ＝3x₁²－y₁²＝3.故双曲线方程是.     （6分）

（Ⅲ）设直线l的方程为y＝kx＋1，代入双曲线方程，得，

即 .                                                  （7分）

  设点P(x₃，y₃)，Q(x₄，y₄)，则，. （8分）

  因为，.

 所以

.    （9分）

因为P、Q分别为双曲线左、右两支上的点，则.

所以.故不存在直线l，使.            （10分）