1．含有3个元素的集合既可表示为，又可表示为，则的值是（    ）

A．1            B．―1            C．          D．      

2．已知数列为等差数列，为的前项和，，则的值为（     ） 学科

A．　          B．　          C．　           D．64 学科网

3．“”是“直线与圆相切”的（    ）

 A．充分而不必要条件          B．必要而不充分条件

 C．充要条件                  D．既不充分也不必要条件

4．若函数，则是 （    ）

  A．最小正周期为的偶函数        B．最小正周期为的奇函数

  C．最小正周期为的偶函数       D．最小正周期为的奇函数

5．刘、李两家夫妇各带1个小孩一起到公园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两位小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数共有（   ）  A．12              B．24            C．36             D．48

6.平面于点C，则动点C的轨迹是（    ）

A．一条直线                  B．圆                   C．椭圆                 D．双曲线的一支学

7．设F₁、F₂为椭圆的两个焦点，A为椭圆上的点，若已知，且，则椭圆的离心率为（    ）

    A．                   B．                  C．           D．

8．若函数的导函数，则函数的单调递减区间是(    ) 

A．（0，2）        B．（1，3）       C．（―4，―2）    D．（―3，―1）

9．某仓库中有甲、乙、丙三种不同规格的电脑，它们的数量之比依次为2∶3∶5.现用分层抽样

的方法从中抽出一个容量为的样本，若该样本中有甲种规格的电脑24台，则此样本的容量的

值为____________．

10．函数的反函数所经过的一个定点的坐标为_________．

11．___________．

12. 已知矩形中，沿将矩形折成一个二面角则四面体的外接球的表面积为_____________．

13．已知点、是不等式组表示的平面区内的点，为坐标原点，则的取值范围是_______________．

14．一次展览会上展出一套由宝石串联制成的工艺品，如图所示．若按照这种规律依次增加一定数量的宝石, 则第5件工艺品所用的宝石数为_______颗；第件工艺品所用的宝石数为__________________颗 (结果用表示)．

第1件       第2件           第3件                第4件

15．已知点是边长为的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为、、，则、、所满足的关系式为_________________，的最小值是___________．

16．（本题满分12分）  已知，且，设，的图象相邻两对称轴之间的距离不小于．

（1）求ω的取值范围；

（2）在△ABC中，分别为角的对边，，当ω最大时，，求△ABC的面积．

17．（本题满分12分）  现有甲、乙两个盒子，甲盒子里盛有4个白球和4个红球，乙盒子里盛有3个白球和若干个红球，若从乙盒子里任取两个球取得同色球的概率为．

（1）求乙盒子中红球的个数；

（2）从甲、乙盒子里各任取两个球进行交换，若交换后乙盒子里的白球数和红球数相等，就说这次交换是成功的，试求进行一次这样的交换成功的概率是多少？

18．（本题满分12分） 如图，四棱锥的底面是正方形，侧面是等腰三角形且垂直于底面，，，、分别是、的中点．

（1）求证：；

（2）求二面角的大小．

19．（本题满分13分）   设椭圆：的离心率为，点，，原点到直线的距离为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设点为，点在椭圆上（与、均不重合），点在直线上，若直线的方程为，且，试求直线的方程．

20．（本题满分13分）  设数列的前项和为，且，其中为常数且．

（１）证明：数列是等比数列；

（２）设数列的公比，数列满足，（

　　　求数列的通项公式；

（３）设，，数列的前项和为，求证：当时，．

21．（本题满分13分）  已知函数(且都为常数)的导函数，且f(1)=7，设．

(1)当a<2时，求的极小值；

(2)若对任意都有成立，求a的取值范围；

(3)在(2)的条件下比较的大小．

长沙市一中高三第一次模拟考试文科数学答案

1．含有3个元素的集合既可表示为，又可表示为，则的值是（  B  ）

A．1            B．―1            C．          D．      

2．已知数列为等差数列，为的前项和，，则的值为（  B   ） 学科

A．　          B．　          C．　           D．64 学科网

3．“”是“直线与圆相切”的（  A  ）

 A．充分而不必要条件          B．必要而不充分条件

 C．充要条件                  D．既不充分也不必要条件

4．若函数，则是 （  D  ）

  A．最小正周期为的偶函数        B．最小正周期为的奇函数

  C．最小正周期为的偶函数       D．最小正周期为的奇函数

5．刘、李两家夫妇各带1个小孩一起到公园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两位小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数共有（ B  ）  A．12              B．24            C．36             D．48

6.平面于点C，则动点C的轨迹是（  A  ）

A．一条直线                  B．圆                   C．椭圆                 D．双曲线的一支学

7．设F₁、F₂为椭圆的两个焦点，A为椭圆上的点，若已知，且，则椭圆的离心率为（  D  ）

    A．                   B．                  C．           D．

8．若函数的导函数，则函数的单调递减区间是(  A  )

A．（0，2）        B．（1，3）       C．（―4，―2）    D．（―3，―1）

9．某仓库中有甲、乙、丙三种不同规格的电脑，它们的数量之比依次为2∶3∶5.现用分层抽样

的方法从中抽出一个容量为的样本，若该样本中有甲种规格的电脑24台，则此样本的容量的

值为 ．

10．函数的反函数所经过的一个定点的坐标为 ．

11． ．

12. 已知矩形中，沿将矩形折成一个二面角则四面体的外接球的表面积为 ．

13．已知点、是不等式组表示的平面区内的点，为坐标原点，则的取值范围是 ．

14．一次展览会上展出一套由宝石串联制成的工艺品，如图所示．若按照这种规律依次增加一定数量的宝石, 则第5件工艺品所用的宝石数为颗；第件工艺品所用的宝石数为颗 (结果用表示)．

第1件       第2件           第3件                第4件

15．已知点是边长为的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为、、，则、、所满足的关系式为，的最小值是．

16．（本题满分12分）  已知，且，设，的图象相邻两对称轴之间的距离不小于．

（1）求ω的取值范围；

（2）在△ABC中，分别为角的对边，，当ω最大时，，求△ABC的面积．

解：（1）

=         …………………3分

依题意：，∴．…………………5分

（2）由（1）知，∴即，

又，∴  ．   …………………8分

由余弦定理得，结合，得．…………10分

∴．    …………………12分

17．（本题满分12分）  现有甲、乙两个盒子，甲盒子里盛有4个白球和4个红球，乙盒子里盛有3个白球和若干个红球，若从乙盒子里任取两个球取得同色球的概率为．

（1）求乙盒子中红球的个数；

（2）从甲、乙盒子里各任取两个球进行交换，若交换后乙盒子里的白球数和红球数相等，就说这次交换是成功的，试求进行一次这样的交换成功的概率是多少？

解：（1）设乙盒中有个红球，则从乙盒子里任取两个球共有种取法，其中取得同色球的取法有，故．  解得或（舍去），即_．…………………6分

（2）甲、乙两盒中各任取两球交换后乙盒中白球与红球相等，则：①从甲盒中取出两个白球与乙盒中取出一个白球一个红球进行交换，②从甲盒中取出一个红球和一个白球与乙盒中取出两个红球进行交换．

概率为．

答：（1）乙盒中有红球5个，（2）进行一次成功交换的概率为．…………………12分

18．（本题满分12分） 如图，四棱锥的底面是正方形，侧面是等腰三角形且垂直于底面，，，、分别是、的中点．

（1）求证：；

（2）求二面角的大小．

解：（1）取中点，连结、，则，

     又， ∴，四边形是平行四边形，

     ∴，又，，

     ∴ ………………………………4分

   （2）连结  ∵，  ∴，

     又平面平面，∴．

     而，  ∴．

     作于，则，且，为的中点．

作于，连结，则，

 于是为二面角的平面角．    …………………………8分

∵，，∴，．

在正方形中，作于，则

，

∴，∴．

故二面角的大小为．     …………………………12分

19．（本题满分13分）   设椭圆：的离心率为，点，，原点到直线的距离为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设点为，点在椭圆上（与、均不重合），点在直线上，若直线的方程为，且，试求直线的方程．

解：（1）由得          …………2分

、由点，知直线的方程为，

于是可得直线的方程为            …………4分

由题意，得，，，

所以椭圆的方程为           ……………6分

（2）由（1）知，，

因为直线经过点，所以，得，

得直线的方程为．        ………………8分

设的坐标为，则，……10分

又，∴，因为，所以_，于是

又点的坐标为，因此直线的方程为      ………………13分

（本题也可以求出点的坐标，再求）

20．（本题满分13分）  设数列的前项和为，且，其中为常数且．

（１）证明：数列是等比数列；

（２）设数列的公比，数列满足，（

　　　求数列的通项公式；

（３）设，，数列的前项和为，求证：当时，．

解：（1）由，

    相减得：，∴，

∴数列是等比数列．       ……………………4 分

  （2），∴，

∴是首项为，公差为1的等差数列；∴，

∴．    ……………………8分

（3）时，，∴，

∴，                 ①

                  ②

①②得，

,             …………………………11分

又因为,单调递增,

故当时, .     …………………………13分

21．（本题满分13分）  已知函数(且都为常数)的导函数，且f(1)=7，设．

(1)当a<2时，求的极小值；

(2)若对任意都有成立，求a的取值范围；

(3)在(2)的条件下比较的大小．

解：(1)，

∴2b=4   c=0    ∴，

∴，

又f(1)=7       ，  ∴d=4    ∴．  ……………………………………2分

∵，∴．

令，得， ∵， ∴．

故由，由，

∴F(x)在上单调递增，在上单调递减，

故F(x)的极小值为F(0)=4 ………………………………………………5分

(2)F(x)≥0在x∈[0，+∞)时恒成立，即，

①当即时，由(1)知F(x)_min=F(0)=4>0符合题意．………………………7分

②若，即时，由(1)知，

∴当时，F(x)_min=

即，∴，∴，

综上所述  a≤5．       ……………………………………………10分

(3)

∵a≤5    ∴，   6－a≥1，故，

∴(等号在a=5时成立)．  …………………………………13分