(二)考点预测题

1(2007年宁夏理4)．已知是等差数列，，其前10项和，则其公差(　)

A．　　　　　　　 B．　　　　 C．　　　　　 D．

[解析]由得a₁=4, 则a₁₀=a₁+9d=4+9d=10，所以．

[答案]D．

2(2008年天津卷20)．在数列中，，，且()．

(Ⅰ)设()，证明是等比数列；

(Ⅱ)求数列的通项公式；

(Ⅲ)若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项．

[解析](Ⅰ)证明：由题设()，得

，即，．

又，，所以是首项为1，公比为的等比数列．

(Ⅱ)解法：由(Ⅰ)

　　　　，

　　　　，

　　　　……

　　　　，()．

将以上各式相加，得()．

所以当时，

上式对显然成立．

(Ⅲ)解：由(Ⅱ)，当时，显然不是与的等差中项，故．

由可得，由得，　①

整理得，解得或(舍去)．于是．

另一方面，，

　　　．

由①可得，．

所以对任意的，是与的等差中项．

3(2008年辽宁卷21)．在数列，中，a₁=2，b₁=4，且成等差数列，成等比数列()

(Ⅰ)求a₂，a₃，a₄及b₂，b₃，b₄，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；

(Ⅱ)证明：．

[解析](Ⅰ)由条件得

由此可得

．

猜测．

用数学归纳法证明：

①当n=1时，由上可得结论成立．

②假设当n=k时，结论成立，即

，

那么当n=k+1时，

．

所以当n=k+1时，结论也成立．

由①②，可知对一切正整数都成立．

4(2008-2009学年江苏省盐城市高三数学上学期第一次月考20)．已知数列和满足,,.

(Ⅰ) 当时,求证: 对于任意的实数,一定不是等差数列；

(Ⅱ) 当时,试判断是否为等比数列；

(Ⅲ) 设为数列的前项和,在(Ⅱ)的条件下,是否存在实数,使得对任意的正

整数,都有?若存在,请求出的取值范围；若不存在,请说明理由.

[解析](Ⅰ)当时,

假设是等差数列,由得,即5=2,矛盾.

故对于任意的实数,一定不是等差数列.

(Ⅱ)当时,.而,所以

　=.

又 .

故当时, 不是等比数列.

当时, 是以为首项,为公比的等比数列.

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当时,,不合要求.

所以,于是,要使成立,

则.

令,当n正奇数时,；当n正偶数时,.

故的最大值为,最小值为.

欲对任意的正整数n都成立,则,即,所以.

综上所述,存在唯一的实数=,使得对任意的正整数,都有.

(一)等差数列、等比数列的通项公式、求和公式的应用以及等差、等比数列的基本性质一直是高考的重点内容，也会是今年高考的重点．对数列部分的考查一方面以小题考查数列的基本知识；另一方面以解答题形式考查等差、等比数列的概念、通项公式以及前项和公式．解答题作为压轴题的可能性较大，与不等式、数学归纳法、函数等一起综合考查学生运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证、运算等能力以及分析问题、解决问题的能力．具体地：

1． 数列中与的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，要切实注意与的关系．

2．探索性问题在数列中考查较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给以证明．探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求．

3．等差、等比数列的基本知识必考．这类考题既有选择题、填空题，又有解答题；有容易题、中等题，也有难题。

4．求和问题也是常见的试题，等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握，还应该掌握一些特殊数列的求和．

5．将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点，从本章在高考中所占的分值来看，一年比一年多，而且都注重能力的考查．

6．有关数列与函数、数列与不等式、数列与概率等问题既是考查的重点，也是考查的难点．另外数列与程序框图的综合题也应引起重视．

1(天津市汉沽一中2009届月考文7)．已知是等差数列，，，则该数列前10项和等于(　　 )

A．64　　　　　 　 B．100　　　　　 　 　C．110　　　　　 　 D．120

[解析]设公差为，则由已知得，

．

[答案]B．

2(辽宁省部分重点中学协作体2008年高考模拟)．设等差数列的前n项和为，则(　　 )

A．18　　　　　　 B．17　　　　　　 C．16　　　　　　 D．15

[解析]等差数列中，公差，．[答案]A.

3(宁波市2008学年度第一学期期末试卷10)．如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点，若青蛙从这点开始跳，则经2009次跳后它停在的点所对应的数为(　　 )

A．　　　　　 B． 　　　　C．　　　　 D．

[解析]5-2-1-3-5，周期为4，2009=4×502+1，经过2009次跳后它停在的点所对应的数为2．

[答案]B．

4(2008~2009学年福建高考样卷·理)．已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是(　　 )

A．　 B．　 C．　　 D．

[解析]设公比为，，由或，所以取值范围为．

[答案]D．

5(2008~2009学年福州质检·理)．，则　　　　　　　　

[解析]

．

[答案]2236．

6(温州十校2008学年度第一学期期中高三数学试题理).已知数列的前n项的和满足,则=　　　　 .

[解析]由条件得：， ，则，时，．

[答案]．　　　

7(浙江省杭州市2009年第一次高考科目教学质量检测数学试题卷理科).数列中，，(是不为零的常数，)，且成等比数列．

(1)求的值；

(2)求的通项公式；

(3)求数列的前项之和．

[解析](1)，，，

因为，，成等比数列，

所以，　　　　　　　　　　　　 　　　　　

解得或．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∵c≠0，∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(2)当时，由于

，，，

所以．　　　　　　　

又，，故．

当时，上式也成立，

所以．　　　　　　　　　　　　 　　　

(3)令　　　　　　　　　　　 　　　

……①

……②

①-②得：　　　 　　　　　　　　　　　　　　

8(一中2008-2009月考理18)．已知数列{}中，在直线y=x上，其中n=1,2,3….

(1)令求证数列是等比数列;

(2)求数列的通项；

　⑶ 设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出.若不存在,则说明理由．

[解析](I)由已知得　

又

是以为首项，以为公比的等比数列.

(II)由(I)知，

将以上各式相加得：

　　

(III)解法一：

存在，使数列是等差数列.

数列是等差数列的充要条件是、是常数

即

又

当且仅当，即时，数列为等差数列.

解法二：

存在，使数列是等差数列.

由(I)、(II)知，

又

当且仅当时，数列是等差数列．

9(2008-2009学年山东师大附中高三数学模拟考试试题文科数学21)．已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，其中为正实数 (1)用表示； (2),若，试证明数列为等比数列，并求数列的通项公式； (3)若数列的前项和，记数列的前项和，求． [解析](1)由题可得，所以在曲线上点处的切线方程为

，即　　

令，得，即

由题意得，所以

(2)因为，所以

即，所以数列为等比数列故 ---8分　

(3)当时，

当时，

所以数列的通项公式为，故数列的通项公式为

　 ①

①的　 ②

①②得

故 ．　　

10(广州市越秀区2009年高三摸底调研理21).已知(m为常数，m>0且)，设是首项为4，公差为2的等差数列.

　 (1)求证：数列{a_n}是等比数列；

　 (2)若b_n=a_n·，且数列{b_n}的前n项和S_n，当时，求S_n；

　 (3)若c_n=，问是否存在m，使得{c_n}中每一项恒小于它后面的项？

若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由.

[解析](1)由题意　　 即

∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴　　　 ∵m>0且，∴m²为非零常数，

∴数列{a_n}是以m⁴为首项，m²为公比的等比数列　　　　　　　　　

(2)由题意，

当

∴　 ①　　　　　　

①式两端同乘以2，得

　 ②　　

②－①并整理，得

　

　

　 =

　 　　…10分

(3)由题意

要使对一切成立，即　 对一切 成立，

①当m>1时，　 成立；　　　　　　　　　

②当0<m<1时，

∴对一切 成立，只需，

解得 ，　 考虑到0<m<1，　　 ∴0<m<　

综上，当0<m<或m>1时，数列{c_n}中每一项恒小于它后面的项.

1(2008年广东卷2).记等差数列的前项和为，若，，则(　　 )

A．16　　　 B．24　　　 C．36　　　 D．48

[解析]，，故．

[答案]D．

2(2008年浙江卷6).已知是等比数列，，则=(　　 )

(A)16()　　　　　　　　　　 (B)16()　　　　

(C)()　　　　　　　　　　 (D)()

[解析]由，解得，

　　　 数列仍是等比数列：其首项是公比为，

所以．

[答案]C．

3(2007年天津理8)．设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则(　)

A．2　　　　　　 B．4　　　　　　 C．6　　　　　　 D．8

[解析]是与的等比中项，则_，

又，则，(舍负)．

[答案]B．

4(2008年江苏卷10).将全体正整数排成一个三角形数阵：

1

2　 3

4　 5　 6

7　 8　 9　 10

． ． ． ． ． ． ．

按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3 个数为 　　　　　．

[解析]前n－1 行共有正整数1+2+…+(n－1)个，即个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第+3个，即为．

[答案]．

5(2007年浙江文19) .已知数列{}中的相邻两项、是关于x的方程

　　 　的两个根，且≤　(k ＝1，2，3，…)．

　　 (I)求及 (n≥4)(不必证明)；

　　 (Ⅱ)求数列{}的前2n项和S_2n．

[解析] (I)方程的两个根为．

当k＝1时，，所以；

当k＝2时，，所以；当k＝3时，，所以；

当k＝4时，，所以；

因为n≥4时，，所以

(Ⅱ)

＝．

6(2007年山东理17).设数列满足，．

(Ⅰ)求数列的通项；

(Ⅱ)设，求数列的前项和．

[解析](I)

，

．

验证时也满足上式，．

(II) ， ，

，

则，

　　　　　 ，所以．

7(2008年安徽卷21)．设数列满足为实数

(Ⅰ)证明：对任意成立的充分必要条件是；

(Ⅱ)设，证明：;

(Ⅲ)设，证明：

[解析](Ⅰ)必要性 ： ，

　　　　　　　　 又 　，即

充分性 ：设 ，对用数学归纳法证明

　　　　 当时，.假设

　　　　 则，且

，由数学归纳法知对所有成立

　　 (Ⅱ) 设 ，当时，，结论成立

　　　　 当 时，

　　　　　

　　　　　 ,由(1)知，所以 　且 　

　 　　　　

　　　　　

　　　　　

(Ⅲ)设 ，当时，，结论成立

　当时，由(2)知

　．

2．等差数列、等比数列

　(1) 理解等差数列、等比数列的概念．

　(2)掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式．

　(3)能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．

　④ 了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系．

高考对数列的考查比较全面，重点是等差、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式、等差(比)中项及等差和等比数列性质的灵活运用；在能力要求上，主要考查学生的运算能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力，其中考查思维能力是支柱，运算能力是主体，应用是归宿．

主要考点有：

1．数列的概念和简单表示法

　(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)．

　(2)了解数列是自变量为正整数的一类函数．

10．(2000春全国)已知抛物线y²＝4px(p＞0)，O为顶点，A、B为抛物线上的两动点，且满足OA⊥OB，如果OM⊥AB于M点，求点M的轨迹方程．

分析：点M随着A、B两点的变化而变化，点M是OM与AB的交点，而A、B为抛物线上的动点，点M与A、B的直接关系不明显，因此需引入参数．

解法一：设M(x₀，y₀)，则k_OM=，k_AB=－，

直线AB方程是y=－(x－x₀)+y₀．

由y²=4px可得x=，代入上式整理得

x₀y²－(4py₀)y－4py₀²－4px₀²=0．　　　　　　　　 ①

此方程的两根y₁、y₂分别是A、B两点的纵坐标，

∴A(，y₁)、B(，y₂)．

∵OA⊥OB，∴k_OA·k_OB=－1．

∴·=－1．∴y₁y₂=－16p²．

根据根与系数的关系，由①可得

y₁·y₂=，

∴=16p²．

化简，得x₀²+y₀²－4px₀=0，

即x²+y²－4px=0(除去原点)为所求．

∴点M的轨迹是以(2p，0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点．

解法二：设M(x，y)，直线AB方程为y=kx+b，

由OM⊥AB得k=－．

由y²=4px及y=kx+b消去y，得

k²x²+x(2kb－4p)+b²=0．

所以x₁x₂=．消去x，得ky²－4py+4pb=0．

所以y₁y₂=．由OA⊥OB，

得y₁y₂=－x₁x₂，

所以=－，b=－4kp．

故y=kx+b=k(x－4p)．

用k=－代入，得

x²+y²－4px=0(x≠0)．

解法三：设点M的坐标为(x，y)，直线OA的方程为y=kx，

解得A点的坐标为(，)，

显然k≠0，则直线OB的方程为y=－x．

由

　　 y=kx，

y²=4px，

类似地可得B点的坐标为(4pk²，－4pk)，

从而知当k≠±1时，

k_AB==．

故得直线AB的方程为y+4pk=(x－4pk²)，

即(－k)y+4p=x，　　　　　 ①

直线OM的方程为y=－(－k)x．　　　　 ②

可知M点的坐标同时满足①②，

由①及②消去k便得4px=x²+y²，

即(x－2p)²+y²=4p²，但x≠0，

当k=±1时，容易验证M点的坐标仍适合上述方程．

故点M的轨迹方程为(x－2p)²+y²=4p²(x≠0)，

它表示以点(2p，0)为圆心，以2p为半径的圆．

[探索题](2006辽宁)

已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足．设圆的方程为

(I)证明线段是圆的直径;

(II)当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为时，求P的值。

(I)证法一：∵，

∴，

即，

整理得．

∴　　　 1　

设点是以线段为直径得圆上得任意一点，则

即

展开上式并将1带入得

故线段是圆的直径．

证法二：同法一得：　　　 　　1　　

以 AB 为直径的圆的方程是

，

展开，并将①代入得

所以线段 AB 是圆 C 的直径

(II)解法一：设圆的圆心为则

∵

∴　

又∵＝0　

∴　 ∴

∵，∴, ∴

∴

，

所以圆心的轨迹方程为：

设圆心到直线 的距离为，则

当时，有最小值，由题设得，∴

解法二：同法一得：圆心的轨迹方程为：

设直线与的距离为，则

当与仅有一个公共点时，

该点到的距离最小，最小值为，

由　　　　　　　 ②

③

消x得，

由

　得　　 (∵)

解法三：设圆的圆心为，则

若圆心到直线的距离为，那

∵

∴　

又∵，　　　　 ，

∵，∴　　

∴

当时，有最小值，由题设得，

∴

9．(本小题满分14分)(2005年春考·北京卷·理18)

如图，O为坐标原点，直线在轴和轴上的截距分别是和，且交抛物线于、两点．

(1)写出直线的截距式方程；

(2)证明：；

(3)当时，求的大小．

(Ⅰ)解：直线l的截距式方程为　　 　　①

(Ⅱ)证明：由①及y²=2px消去x可得

　 ②

点M，N的纵坐标y₁, y₂为②的两个根，故

(Ⅲ)解：设OM，ON的斜率分别为k₁,k₂,

8．(本小题满分14分)(2005年高考·广东卷17)

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO(如图4所示)．

　 (Ⅰ)求△AOB的重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程；

　 (Ⅱ)△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

解：(I)设△AOB的重心为G(x,y),A(x₁,y₁),B(x₂,y₂), 则　　 …(1)

∵OA⊥OB，即，　　　　　　　　……(2)

又点A，B在抛物线上，有，代入(2)化简得

∴，

所以重心为G的轨迹方程为．

(II)

由(I)得

当且仅当即时，．

所以△AOB的面积存在最小值，且最小值为1．

7．(2005春北京文)

如图，O为坐标原点，过点P(2，0)且斜率为k的直线l交抛物线y²=2x于M(x₁,y₁),N(x₂, y₂)两点．

(1)求x₁x₂与y₁y₂的值；

(2)求证：OM⊥ON．

(Ⅰ)解：直线l的方程为

　　 　　①

代入y²=2x消去y可得

　 ②

点M，N的横坐标x₁与 x₂是②的两个根，

由韦达定理得

(Ⅱ)证明：设OM，ON的斜率分别为k₁, k₂,