2．涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时,要注意运用“设而不求”的策略,避免求交点坐标的复杂运算．

1．求抛物线方程的方法：待定系数法,定义法,直接法;

4．特别注意范围的限定．

[例4](2005全国卷Ⅲ)设两点在抛物线上，l是AB的垂直平分线．

　 (Ⅰ)当且仅当取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；

　　　　　　　　　　　　　　　　 (Ⅱ)当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围．

　　　　　　　　　　　　　　　　 解：(Ⅰ)两点到抛物线的准线的距离相等．

∵抛物线的准线是x轴的平行线，不同时为0，

∴上述条件等价于

∵，　 ∴上述条件等价于　

即当且仅当时，l经过抛物线的焦点F．

另解：(Ⅰ)∵抛物线，即，

∴焦点为

(1)直线的斜率不存在时，显然有

(2)直线的斜率存在时，设为k，　　　　 截距为b

即直线：y=kx+b　　　 由已知得：

即的斜率存在时，不可能经过焦点

所以当且仅当=0时，直线经过抛物线的焦点F

(II)(理)设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为；过点A、B的直线方程可写为，所以满足方程得；

A，B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式

即

设AB的中点N的坐标为，则

由

即得l在y轴上截距的取值范围为()．

法二:y₁=2x₁², y₂=2x₂², 相减得

,

中点在抛物线内必

[研讨．欣赏](2005山东文)

已知动圆过定点，且与直线相切，其中．

(I)求动圆圆心的轨迹的方程；

(II)设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标．

解：(I)如图，设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为

(II)如图，设，由题意得。又直线的倾斜角满足，故。∴直线的斜率存在，否则，的倾斜角。从而设直线的方程为，显然，将与

联立消去，得由韦达定理知①

由，得

。将①式代入上式整理化简，得：此时直线的方程可表示为：，即。∴直线恒过定点

3．运用距离公式求出标准方程中的待定系数;

2．合理选择坐标系,确定标准方程;

[例1]给定抛物线y²=2x，设A(a，0)，a＞0，P是抛物线上的一点，且｜PA｜=d，试求d的最小值．

解：设P(x₀，y₀)(x₀≥0)，则y₀²=2x₀，

∴d=｜PA｜=

==．

∵a＞0，x₀≥0，

∴(1)当0＜a＜1时，1－a＞0，

此时有x₀=0时，d_min==a．

(2)当a≥1时，1－a≤0，

此时有x₀=a－1时，d_min=．

[例2]过抛物线y²=2px(p＞0)焦点F的弦AB，点A、B在抛物线准线上的射影为A₁、B₁，求∠A₁FB₁．

解法1：由抛物线定义及平行线性质知∠A₁FB₁=180°－(∠AFA₁+∠BFB₁)

=180°－(180°－∠A₁AF)－(180°－∠B₁BF)

=(∠A₁AF+∠B₁BF)=90°．

法2：设弦AB的方程是：

得,

设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),由韦达定理得y₁y₂= -p²

又,

∴从而知∠A₁FB₁=90°．

提炼方法： 1．平面几何法与定义法结合,简捷高效;

2． 弦AB的方程是：(本题不存在AB垂直于y轴的情况),避开了斜率存在性的讨论,解题中应注意灵活运用．

[例3] 如下图所示，直线l₁和l₂相交于点M，l₁⊥l₂，点N∈l₁，以A、B为端点的曲线段C上任一点到l₂的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|NB|=6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．

解：以直线l₁为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段C是以点N为焦点，以l₂为准线的抛物线的一段．其中A、B分别为曲线段C的端点．

设曲线段C的方程为y²=2px(p>0)(x_A≤x≤x_B，y>0)，其中x_A、x_B为A、B的横坐标，p=|MN|，

所以M(－，0) 、N(，0)．

由|AM|=，|AN|=3，得

(x_A+)²+2px_A=17，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ①

(x_A－)²+2px_A=9．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ②

①②联立解得x_A=，代入①式，并由p>0，

x_A=1　　　 x_A=2．

因为△AMN为锐角三角形，所以>x_A．

x_A=2．　　　　 x_A=1．

由点B在曲线段C上，得x_B=|BN|－=4．

综上，曲线段C的方程为y²=8x(1≤x≤4，y>0)．

提炼方法： 1．熟练运用定义确定曲线C是抛物线段;

5．把点A的坐标(0，9)代入y=ax²+c得c=9，即运动物体的轨迹方程为y=ax²+9．

令y=0，得ax²+9=0，即x²=－．

若物体落在D内，应有6＜＜7，

解得－＜a＜－．　　 6.N(x₀+4, 0)

6．已知抛物线y²=8x上两个动点A、B及一个定点M(x₀, y₀)，F是抛物线的焦点，且|AF|、|MF|、|BF|成等差数列，线段AB的垂直平分线与x轴交于一点N则点N的坐标是_____________(用x₀表示)；

简答：1-4．BBDC；　 4．考虑特殊位置,令焦点弦PQ平行于轴,

5． 下图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点A(0，9)，其轨迹方程是y=ax²+c(a＜0)，D=(6，7)为x轴上的给定区间．为使物体落在D内，a的取值范围是___________；

4．过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若PF与FQ的长分别为p、q,则等于 (　　 )

A　 　　　　B 　　　　C 　　　　　D