5．(南通四县市2008届高三联合考试，数学，17)如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB= AD=2．

(1)证明：面BDD₁ B₁⊥面ACD₁；

(2)若E是BC₁的中点，P是AC的中点，F是A₁C₁上的点， C₁F=mFA₁，试求m的值，使得EF∥D₁P．

[解析]本题考查面面垂直的证明，以及线线垂直的探究

[答案]证明(1)：在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB= AD=2，

故四边形ABCD是正方形，AP⊥DP，

又∵D₁D⊥面ABCD，AP面ABCD

∴D₁D⊥AP ，D₁D∩DP=D

∴AP⊥面BDD₁B₁　

∵AP面AD₁C

∴面BDB₁D₁⊥面ACD₁　　　　　　　

(2)：记A₁C₁与B₁D₁的交点为Q，连BQ，

∵P是AC的中点，∴D₁P∥BQ，要使得EF∥D₁P，则必有EF∥BQ

在△QBC₁中，E是BC₁的中点， F是QC₁上的点，EF∥BQ

∴F是QC₁的中点，即3C₁F=FA₁，故所求m的值是． 　　

4．(广东省中山市2009年四校联考数学，数学理科，5)给出下列关于互不相同的直线 和平面 的四个命题：

　　 ①若；

　　 ②若是异面直线，；

　　 ③若；

　　 ④若

　　 其中为假命题的是　　　　　　　　　　 (　　 )

　　 A．①　 　B．②　　 C．③　　　　　　 D．④

[解析]本题考查线线，线面及面面位置关系的判定

[答案]C

3．(山东省潍坊市2008年5月高三教学质量检测，数学理科，12)如图，ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使面ABD⊥面BCD，连结AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面有(　　 )对

　　 A．1　　　　　　　 B．2　　　　　　　

C．3　　　　　　　 D．4

[解析]本题考查图形的翻折，和面面垂直的判定，显然面ABD⊥面BCD，面ABC⊥面BCD，面ABD⊥面ACD，

[答案]C

2．(宁夏区银川一中2008届高三年级第五次月考测试，数学理科，12)如图，一个几何体的正视图和侧视图是腰长为1的等腰三角形，俯视图是一个圆及其圆心，当这个几何体的体积最大时圆的半径是 (　　 )

　　　 A．　　　 B．　　 C．　　 D．

[解析]本题考查三视图及椎体的体积计算。设底面半径为，高位，又，则，当即时，体积最大。

[答案]C

1．(山东省烟台市2008年高三适应性练习(三)，数学理科，6)已知直线则下列四个命题：

　　 ①;　　　　　　　　　 ②;

　　 ③;　　　　　　　　　 ④　

其中正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　 A．①②　　　　　 B．③④　　　　　 C．②④　　　　　 D．①③

[解析]本题考查线面位置关系的判断，②④显然不正确

[答案]D

7．(2008年山东卷，数学理科，20)如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F分别是BC, PC的中点.

(Ⅰ)证明：AE⊥PD;

(Ⅱ)若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E-AF-C的余弦值.

[解析]本题考查线线垂直的证明，和二面角的求法，理科生应学会利用空间向量解决问题。

[答案](Ⅰ)证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形．

因为为的中点，所以．

又，因此．

因为平面，平面，所以．

而平面，平面且，

所以平面．又平面，所以．

(Ⅱ)解：设，为上任意一点，连接．

由(Ⅰ)知平面，

则为与平面所成的角．

在中，，

所以当最短时，最大，

即当时，最大．

此时，

因此．又，所以，所以．

解法一：因为平面，平面，所以平面平面．

过作于，则平面，

过作于，连接，则为二面角的平面角，

在中，，，

又是的中点，在中，，

又，

在中，，即所求二面角的余弦值为．

解法二：由(Ⅰ)知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又分别为的中点，所以

，

，

所以．

设平面的一法向量为，

则因此取，则，

因为，，，所以平面，

故为平面的一法向量．

又，所以．

因为二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为．

6．(2007年宁夏、 海南卷，数学文科，18)如图，为空间四点．在中，．

等边三角形以为轴运动．

(Ⅰ)当平面平面时，求；

(Ⅱ)当转动时，是否总有？

证明你的结论．

[解析]考查直线和平面与平面和平面的相互关系

[答案](Ⅰ)取的中点，连结，

因为是等边三角形，所以．

当平面平面时，

因为平面平面，

所以平面，

可知

由已知可得，在中，．

(Ⅱ)当以为轴转动时，总有．

证明：

(ⅰ)当在平面内时，因为，

所以都在线段的垂直平分线上，即．

(ⅱ)当不在平面内时，由(Ⅰ)知．又因，所以．

又为相交直线，所以平面，由平面，得．

综上所述，总有．

5．(2008年海南宁夏卷，数学文科，18)如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)。(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；(3)在所给直观图中连结，证明：∥面EFG。

[解析]长方体的有关知识、体积计算及三视图的相关知识

[答案](1)如图

(2)所求多面体的体积

(3)证明：如图，在长方体中，连接，则∥

因为E，G分别为中点，所以∥，从而∥，

又, 所以∥平面EFG；

4．(2007年广东卷，数学文科，6)若l、m、n是互不相同的空间直线，、是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是

A．若，则　 　B．若，则　 　　　　　

C. 若，则 　　　　　D．若，则

[解析]考查直线和平面与直线和平面的相互关系，对A，当　 ∥　 ，?时，只是平行于　 中某一直线而非所有，因而未必能平行于n；对B，只有在垂直与两面的交线才有结论⊥　 成立；

对C，直线和m可以是异面，立方体的棱就能体现这种关系。

[答案]D

3．(2008年江西卷，数学理科，16) 如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P。如果将容器倒置，水面也恰好过点(图2)。有下列四个命题：

A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半

B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点

C．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点

D．若往容器内再注入升水，则容器恰好能装满

其中真命题的代号是：　　　　　　　 (写出所有真命题的代号)．

[解析]易知所盛水的容积为容器容量的一半，故D正确，于是A错误；水平放置时由容器形状的对称性知水面经过点P，故B正确；C的错误可由图1中容器位置向右边倾斜一些可推知点P将露出水面。

[答案]真命题的代号是：　 BD　 。