1、试题特点

(1) 高考集合与简易逻辑试题考查情况

2008年的高考在全国19套试卷中，都有体现，重点考查了集合间关系、集合的运算、充分条件与必要条件、四种命题等.　

　　据此可知，有关集合与简易逻辑的试题是高考命题的重要题型，它的解答需要用到集合与简逻辑的基础知识、基本性质，及一些相关知识，如不等式、指数函数、对数函数等，其命题热点是伴随相关知识的考查，出现频率较高的题型是有关不等式的命题。

(2) 主要特点

　　　　 纵观近年来高考试题，特别是2008年高考试题，集合与简易逻辑试题有如下特点：

　　　　 (1)全方位. 近几年来的高考题中，集合与简易逻辑的所有知识点都考过，虽然近几年不强调知识的覆盖率，但每一年集合与简易逻辑知识点的覆盖率依然没有减小.

　　(2)巧综合. 为了突出集合与简易逻辑在中学中的重要地位，近几年来高考强化了集合、简易逻辑与其它知识的联系，如集合与不等式、对数函数、指函数等知识的综合都有出现.

(3)变角度. 出于“立意”和创设情景的需要，集合与简易逻辑试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视数学思想的考查，加大了应用题、探索题、开放题和信息题的考查力度，如2008广东文的第1题，2008江西理科的第2题，从而使集合与简易逻辑考题显得新颖、生动、灵活.

7.已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．用表示，并求的最大值；

解析：设与在公共点处的切线相同．

，，由题意，．

即由得：，或(舍去)．

即有．

令，则．于是当，即时，；当，即时，．故在为增函数，

在为减函数，∴在的最大值为．

6.设函数在及时取得极值．

(Ⅰ)求a、b的值；(Ⅱ)若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．

解析：(Ⅰ)，由，．解得，．

(Ⅱ)在[0，3]上恒成立即，

由(Ⅰ)可知，，．

当时，；当时，；当时，．

即在0，1]上递增，[1，2]上递减，[2，3]上递增；∴当时，取得极大值，又．故当时，的最大值为．

于是有：，解得　或，因此的取值范围为。

5.已知函数在处有极值10,则　　　　

解析： ，∴=　 ①

　 ②　 由①②得：或

当时，，此时函数无极值，舍去；

当时，函数在处左减右增，有极小值；

此时∴18 。

4.已知函数在处取得极大值，在处取得极小值，且．(1)证明；(2)若z=a+2b,求z的取值范围。

解析：函数的导数．

(Ⅰ)由函数在处取得极大值，在处取得极小值，知是的两个根．所以；当时，为增函数，，由，得．

(Ⅱ)在题设下，等价于　即．

化简得．此不等式组表示的区域为平面上三条直线：

所围成的的内部，由“线性规划”的知识容易求得：的取值范围为．

3.f(x)是定义在(0，+∞)上的非负可导函数，且满足xf^/(x)+f(x)≤0,对任意正数a、b,若a＜b，则必有　　　　　　　　　　 (　　 )　 (07陕西理11)

A.af(b) ≤bf(a)　　　　　　　　　　　　　　　 B.bf(a) ≤af(b)

C.af(a) ≤f(b)　　　　　　　　　　　　　　　　 D.bf(b) ≤f(a)

解析：xf^/(x)+f(x)≤0[xf(x)]^/ ≤0函数F(x)= xf(x) 在(0，+∞)上为常函数或递减，

又0<a＜b且f(x)非负，于是有：af(a)≥bf(b)≥0　 ①　　 　　②

①②两式相乘得： af(b) ≤bf(a)，故选A。

2.已知定义在R上的函数y=f(x)的导函数f^/(x)在R上也可导，且其导函数[f^/(x)]^/<0，

则y=f(x)的图象可能是下图中的　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

A．①②　　　 B．①③　　 C．②③　　　 D．③④

C解析：由[f^/(x)]^/<0知f^/(x)在R上递减，即函数y=f(x)的图象上从左到右各点处的切线斜率递减，不难看出图象②③满足这一要求。

1.已知函数若在是增函数，求实数的范围。

解析：≥0在上恒成立在上恒成立

而在上的最小值为16，故。

5.构造函数证明不等式.

典型例题

例7．(2006年天津卷)函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点(　)

A．1个

B．2个

C．3个

D． 4个

[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力.

[解答过程]由图象可见,在区间内的图象上有一个极小值点.

故选A.

例8 .(2007年全国一)设函数在及时取得极值．

(Ⅰ)求a、b的值；

(Ⅱ)若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．

思路启迪：利用函数在及时取得极值构造方程组求a、b的值．

解答过程：(Ⅰ)，

因为函数在及取得极值，则有，．

即

解得，．

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，，

．

当时，；

当时，；

当时，．

所以，当时，取得极大值，又，．

则当时，的最大值为．

因为对于任意的，有恒成立，

所以　，

解得　或，

因此的取值范围为．

例9.函数的值域是_____________.

思路启迪：求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂，采用导数法求解较为容易。

解答过程：由得，，即函数的定义域为.

　　 ，

　　 又，

　　 当时，，

　　 函数在上是增函数，而，的值域是.

例10．(2006年天津卷)已知函数，其中为参数，且．

(1)当时，判断函数是否有极值；

(2)要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；

(3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围．

[考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法.

[解答过程](Ⅰ)当时，，则在内是增函数，故无极值.

(Ⅱ)，令，得.

由(Ⅰ)，只需分下面两种情况讨论.

①当时，随x的变化的符号及的变化情况如下表：

x		0
	+	0	-	0	+
	↗	极大值	↘	极小值	↗

因此，函数在处取得极小值，且_.

要使，必有，可得.

由于，故.

②当时，随x的变化，的符号及的变化情况如下表：

	+	0	-	0	+
		极大值		极小值

因此，函数处取得极小值，且

若，则.矛盾.所以当时，的极小值不会大于零.

综上，要使函数在内的极小值大于零，参数的取值范围为.

(III)解：由(II)知，函数在区间与内都是增函数。

由题设，函数内是增函数，则a须满足不等式组

　　　　 或 　　 　

由(II)，参数时时，.要使不等式关于参数恒成立，必有，即.

综上，解得或.

所以的取值范围是.

例11．(2006年山东卷)设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的单调区间.

[考查目的]本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力

[解答过程]由已知得函数的定义域为，且

(1)当时，函数在上单调递减，

(2)当时，由解得

、随的变化情况如下表

	-	0	+
		极小值

从上表可知

当时，函数在上单调递减.

当时，函数在上单调递增.

综上所述：当时，函数在上单调递减.

当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增.

例12．(2006年北京卷)已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.求：

(Ⅰ)的值；

(Ⅱ)的值.

[考查目的]本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值, 函数与方程的转化等基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力

[解答过程]解法一：(Ⅰ)由图像可知，在上，在上，在上,

故在上递增，在上递减，

因此在处取得极大值，所以

(Ⅱ)

由

得

解得

解法二：(Ⅰ)同解法一

(Ⅱ)设

又

所以

由即得

所以

例13．(2006年湖北卷)设是函数的一个极值点.

(Ⅰ)求与的关系式(用表示)，并求的单调区间；

(Ⅱ)设，.若存在使得成立，求的取值范围.

[考查目的]本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力.

[解答过程](Ⅰ)f `(x)＝－[x²+(a－2)x+b－a ]e^3－x,

由f `(3)=0，得 －[3²+(a－2)3+b－a ]e^3－3＝0，即得b＝－3－2a，

则 f `(x)＝[x²+(a－2)x－3－2a－a ]e^3－x

＝－[x²+(a－2)x－3－3a ]e^3－x＝－(x－3)(x+a+1)e^3－x.

令f `(x)＝0，得x₁＝3或x₂＝－a－1，由于x＝3是极值点，

所以x+a+1≠0，那么a≠－4.

当a<－4时，x₂>3＝x₁，则

在区间(－∞，3)上，f `(x)<0， f (x)为减函数；

在区间(3，―a―1)上，f `(x)>0，f (x)为增函数；

在区间(―a―1，+∞)上，f `(x)<0，f (x)为减函数.

当a>－4时，x₂<3＝x₁，则

在区间(－∞，―a―1)上，f `(x)<0， f (x)为减函数；

在区间(―a―1，3)上，f `(x)>0，f (x)为增函数；

在区间(3，+∞)上，f `(x)<0，f (x)为减函数.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，当a>0时，f (x)在区间(0，3)上的单调递增，在区间(3，4)上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]，

而f (0)＝－(2a+3)e³<0，f (4)＝(2a+13)e^－1>0，f (3)＝a+6，

那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－(2a+3)e³，a+6].

又在区间[0，4]上是增函数，

且它在区间[0，4]上的值域是[a²+，(a²+)e⁴]，

由于(a²+)－(a+6)＝a²－a+＝()²≥0，所以只须仅须

(a²+)－(a+6)<1且a>0，解得0<a<.

故a的取值范围是(0，).

例14 (2007年全国二)

已知函数

在处取得极大值，在处取得极小值，且．

(1)证明；

(2)若z=a+2b,求z的取值范围。

[解答过程]求函数的导数．

(Ⅰ)由函数在处取得极大值，在处取得极小值，知是的两个根．

所以

当时，为增函数，，由，得．

(Ⅱ)在题设下，等价于　即．

化简得．

此不等式组表示的区域为平面上三条直线：．

所围成的的内部，其三个顶点分别为：．

在这三点的值依次为．

所以的取值范围为．

小结：本题的新颖之处在把函数的导数与线性

规划有机结合．

考点4 导数的实际应用

建立函数模型,利用

典型例题

例15. (2007年重庆文)

用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

[考查目的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.

[解答过程]设长方体的宽为x(m)，则长为2x(m)，高为

.

故长方体的体积为

从而

令V′(x)＝0，解得x=0(舍去)或x=1，因此x=1.

当0＜x＜1时，V′(x)＞0；当1＜x＜时，V′(x)＜0，

故在x=1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值。

从而最大体积V＝V′(x)＝9×1²-6×1³(m³)，此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.

答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m³。

例16．(2006年福建卷)统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗

油量(升)关于行驶速度(千米/小时)的函数解析式可以表示为：

已知甲、乙两地相距100千米.

(I)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？

(II)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

[考查目的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.

[解答过程](I)当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，

要耗没(升).

答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。

(II)当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，依题意得

　　

令得

当时，是减函数；当时，是增函数.

当时，取到极小值

因为在上只有一个极值，所以它是最小值.

答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.

考点1　 导数的概念

对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.

例1．(2007年北京卷)是的导函数，则的值是　　 ．

[考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力.

[解答过程]

故填3.

例2. ( 2006年湖南卷)设函数,集合M=,P=,若MP,则实数a的取值范围是 (　 　　)

A.(-∞,1)　 B.(0,1)　　 C.(1,+∞)　　 D. [1,+∞)

[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.

[解答过程]由

综上可得MP时, 

考点2　 曲线的切线

(1)关于曲线在某一点的切线

求曲线y=f(x)在某一点P(x,y)的切线，即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.

(2)关于两曲线的公切线

若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线.

典型例题

例3.(2007年湖南文)已知函数在区间，内各有一个极值点．

(I)求的最大值；

(II)当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象(即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧)，求函数的表达式．

思路启迪：用求导来求得切线斜率.

解答过程：(I)因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，

设两实根为()，则，且．于是

，，且当，即，时等号成立．故的最大值是16．

(II)解法一：由知在点处的切线的方程是

，即，

因为切线在点处空过的图象，

所以在两边附近的函数值异号，则

不是的极值点．

而，且

．

若，则和都是的极值点．

所以，即，又由，得，故．

解法二：同解法一得

．

因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，于是存在()．

当时，，当时，；

或当时，，当时，．

设，则

当时，，当时，；

或当时，，当时，．

由知是的一个极值点，则，

所以，又由，得，故．

例4.(2006年安徽卷)若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为(　 )

A．　　　　　　　 B．

C．　　　　　　　 D．

[考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.

[解答过程]与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为.

故选A.

例5． ( 2006年重庆卷)过坐标原点且与x²+y² -4x+2y+=0相切的直线的方程为 (　 )

A.y=-3x或y=x　 B. y=-3x或y=-x　 C.y=-3x或y=-x　 D. y=3x或y=x

[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力.

[解答过程]解法1：设切线的方程为

又

故选A.

解法2:由解法1知切点坐标为由

故选A.

例6.已知两抛物线, 取何值时，有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程.

思路启迪：先对求导数.

解答过程：函数的导数为，曲线在点P()处的切线方程为，即 　 ①

曲线在点Q的切线方程是即

　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

若直线是过点P点和Q点的公切线，则①式和②式都是的方程，故得

，消去得方程，

若△=，即时，解得，此时点P、Q重合.

∴当时，和有且只有一条公切线，由①式得公切线方程为 .

考点3　 导数的应用

中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题:

1.. 求函数的解析式; 2. 求函数的值域; 3.解决单调性问题; 4.求函数的极值(最值);