3．已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁．AB=1，AA₁=2，点E为CC₁中点，点P为BD₁中点． 证明EF为BD₁与CC₁的公垂线；

证：建立如图的坐标系，得B(0，1，0)，D₁(1，0，2)，F(，，1)，C₁(0，0，2)，E(0，0，1)．

即EF⊥CC₁，EF⊥BD₁ ．

故EF是为BD₁ 与CC₁的公垂线．

2．设=(cosα，1，sinα)，=(sinα，1，cosα)，求证：(+)⊥(－)。

1．下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别是其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的图形的序号是_____________．①④⑤．

7．已知向量=(3，0，1)，=(-1，1，2)，⊥，∥，若=－，求向量的坐标。(-，1，)

考查空间向量的概念及运算．要求空间向量的加法、减法和数乘、空间向量的坐标运算、空间向量的数量积的概念、性质．

6．若e₁，e₂，e₃是三个不共面向量，试问向量a=3e₁+2e₂+e₃，b=－e₁+ e ₂+3 e ₃，c=2e ₁－e ₂－4 e ₃是否共面，并说明理由。

解：由共面向量定理可知，关键是能否找到三个不全为零的实数x，y，z，

使得xa+yb+zc=0，即x(3 e₁+2e₂+e₃)+y(－e₁+ e ₂+3 e ₃)+z(2 e ₁－e ₂－4 e ₃)=0，

即(3x－y+2z)e₁+(2x+y－z)e₂+(x+3y－4z)e₃=0。由于e₁，e₂，e₃不共面，

故得3x－y+2z=0，①　　 2x+y－z=0，②　　　 x+3y－4z=0。③

①+②求得z=－5x，代入③得y=－7x，取x=1，则y=－7，z=－5，于是a－7b－5c=0，

即a=7b+5c，所以a，b，c三向量共面。

5．已知、是空间两个单位向量，它们的夹角为60°，设向量=2+，=－3+2，则向量与的夹角是_______．120°

4．命题：

①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；

②向量a、b、c共面，则它们所在的直线也共面；

③若a与b共线，则存在唯一的实数λ，使b=λa；

④若A、B、C三点不共线，O是平面ABC外一点，= + + ，

则点M一定在平面ABC上，且在△ABC内部．

上述命题中的真命题是_____________．④

解：①中b为零向量时，a与c可以不共线，故①是假命题；②中a所在的直线其实不确定，故②是假命题；③中当a=0，而b≠0时，则找不到实数λ，使b=λa，故③是假命题；④中M是△ABC的重心，故M在平面ABC上且在△ABC内，故④是真命题．

3．下列命题中不正确的命题个数是　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　　 )

①若A、B、C、D是空间任意四点，则有+++=0;　

②|a|－|b|=|a+b|是a、b共线的充要条件;　

③若a、b共线，则a与b所在直线平行;　

④对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若=x+y+z(其中x、y、z∈R)，

则P、A、B、C四点共面　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 C　 )

A．1　　　 　　　　　　　 B．2　　　 　　　　　　　　 C．3　　　 　　　　　　　 D．4

2．设O，P，A，B为空间任意四个点，如果满足=m+n，且m+n=1，则 ( A　 )

A．P在直线AB上　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．P不在直线AB上

C．P有可能在直线AB上　 　　　　　　　　　　　　　　 D．以上都不对

1．在以下命题中:

①若a、b共线，则a与b所在直线平行

②若a，b所在直线是异面直线，则a与b一定不共面

③若a，b，c三向量两两共面，则a，b，c三向量一定也共面

④若a，b，c三向量共面，则由a，b所在直线所确定的平面与由b，c所在直线所确定的平面一定平行。正确命题的个数为　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ( A　 )

A．0　　　　 　　　　　　　 B．1　　　　 　　　　　　 C．2　　　　 　　　　　　　 D．3