题型1：求轨迹方程

例1．(1)一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。

(2)双曲线有动点，是曲线的两个焦点，求的重心的轨迹方程。

解析：(1)(法一)设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、，

将圆方程分别配方得：，，

当与相切时，有　　　　 ①

当与相切时，有　　　　 ②

将①②两式的两边分别相加，得，

即　　　　 ③

移项再两边分别平方得：

　　　　　 ④

两边再平方得：，

整理得，

所以，动圆圆心的轨迹方程是，轨迹是椭圆.

(法二)由解法一可得方程，

由以上方程知，动圆圆心到点和的距离和是常数，所以点的轨迹是焦点为、，长轴长等于的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，

∴，，∴，，

∴，

∴圆心轨迹方程为。

(2)如图，设点坐标各为，∴在已知双曲线方程中，∴

∴已知双曲线两焦点为，

∵存在，∴

由三角形重心坐标公式有，即 。

∵，∴。

已知点在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有

即所求重心的轨迹方程为：。

点评：定义法求轨迹方程的一般方法、步骤；“转移法”求轨迹方程的方法.

例2．(2009年广东卷文)(本小题满分14分)

已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12.圆:的圆心为点.

(1)求椭圆G的方程

(2)求的面积

(3)问是否存在圆包围椭圆G?请说明理由.

解(1)设椭圆G的方程为：　 ()半焦距为c;

　 则 , 解得 ,

　 所求椭圆G的方程为：.　　　　　　

(2 )点的坐标为

　

(3)若，由可知点(6，0)在圆外，

　 若，由可知点(-6，0)在圆外；

　 不论K为何值圆都不能包围椭圆G.

题型2：圆锥曲线中最值和范围问题

例3．(1)(2009辽宁卷理)以知F是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为　　　　　　　　　　　　　　　　 。

[解析]注意到P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F’(4,0),

　 于是由双曲线性质|PF|－|PF’|＝2a＝4

　 而|PA|+|PF’|≥|AF’|＝5

　 两式相加得|PF|+|PA|≥9,当且仅当A、P、F’三点共线时等号成立.

[答案]9

　　 (2)(2009重庆卷文、理)已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为　　　　　 ．

[解析1]因为在中，由正弦定理得

则由已知，得，即

设点由焦点半径公式，得则

记得由椭圆的几何性质知，整理得

解得，故椭圆的离心率

[解析2] 由解析1知由椭圆的定义知　　

，由椭圆的几何性质知所以以下同解析1.

[答案]

　　 (3)(2009四川卷理)已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是(　 )

A.2　　　　　 　　B.3　 　　　　　　C.　　　　　 D.　　　　

[考点定位]本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，综合题。

[解析1]直线为抛物线的准线，由抛物线的定义知，P到的距离等于P到抛物线的焦点的距离，故本题化为在抛物线上找一个点使得到点和直线的距离之和最小，最小值为到直线的距离，即，故选择A。

[解析2]如图，由题意可知

[答案]A

点评：由△PAF成立的条件，再延伸到特殊情形P、A、F共线，从而得出这一关键结论.

例4．(1)(2009江苏卷)(本题满分10分)

在平面直角坐标系中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2，2)，其焦点F在轴上。

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；

(3)设过点的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和E两点间的距离为，求关于的表达式。

　　　

(2)(2009山东卷文)(本小题满分14分)

设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E.

(1)求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;　　　

(2)已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆的方程;

(3)已知,设直线与圆C:(1<R<2)相切于A₁,且与轨迹E只有一个公共点B₁,当R为何值时,|A₁B₁|取得最大值?并求最大值.

解(1)因为,,,

所以,　　 即.　　　

当m=0时,方程表示两直线,方程为;

当时, 方程表示的是圆

当且时,方程表示的是椭圆;

当时,方程表示的是双曲线.

(2).当时, 轨迹E的方程为,设圆心在原点的圆的一条切线为,解方程组得,即,

要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B,

则使△=,

即,即,　　 且

,

要使,　 需使,即,

所以,　 即且,　 即恒成立.

所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,

所以圆的半径为,, 所求的圆为.

当切线的斜率不存在时,切线为,与交于点或也满足.

综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.

(3)当时,轨迹E的方程为,设直线的方程为,因为直线与圆C:(1<R<2)相切于A₁, 由(2)知,　 即　　 ①,

因为与轨迹E只有一个公共点B₁,

由(2)知得,

即有唯一解

则△=,　　 即,　　 ②

由①②得,　 此时A,B重合为B₁(x₁,y₁)点,　　　

由 中,所以,,

B₁(x₁,y₁)点在椭圆上,所以,所以,

在直角三角形OA₁B₁中,因为当且仅当时取等号,所以,即

当时|A₁B₁|取得最大值,最大值为1.

[命题立意]:本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系,可以通过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题.

题型3：证明问题和对称问题

例5．(1)如图，椭圆＝1(a＞b＞0)与过点A(2，0)B(0,1)的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=.

(Ⅰ)求椭圆方程；

(Ⅱ)设F、F分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF的中点，求证：∠ATM=∠AFT。

解 (1)由题意：

　　　　 　，解得，所求椭圆方程为

(2)(2009天津卷文)(本小题满分14分)

已知椭圆()的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交于点A,B两点，且

(Ⅰ求椭圆的离心率；

(Ⅱ)直线AB的斜率；

(Ⅲ)设点C与点A关于坐标原点对称，直线上有一点H(m,n)()在的外接圆上，求的值。

解 (1)由，得,从而

，整理得，故离心率

(2)由(1)知，，所以椭圆的方程可以写为

设直线AB的方程为即

由已知设则它们的坐标满足方程组　　　

消去y整理，得

依题意，

而，有题设知，点B为线段AE的中点，

所以

联立三式，解得，将结果代入韦达定理中解得_.

(3)由(2)知，，当时，得A由已知得

线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是的外接圆的圆心，因此外接圆的方程为

直线的方程为，于是点满足方程组

由，解得，故

当时，同理可得_.

点评：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。

(3)在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于A、B两点.

①求证：“如果直线过点T(3，0)，那么＝3”是真命题；

②写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．

解析：

(3)证明：①设过点T(3,0)的直线l交抛物线y²=2x于点A(x₁,y₁)、B(x₁₂,y₂).

　　 当直线l的钭率下存在时,直线l的方程为x=3,此时,直线l与抛物线相交于A(3,)、B(3,－)，∴=3。

　　 当直线l的钭率存在时,设直线l的方程为y=k(x－3),其中k≠0.

当	y2=2x	得ky2－2y－6k=0,则y1y2=－6.
y=k(x－3)

　　 又∵x₁=y, x₂=y,

∴=x₁x₂+y₁y₂==3.

综上所述, 命题“如果直线l过点T(3,0),那么=3”是真命题.

②逆命题是：设直线l交抛物线y²=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.

例如：取抛物线上的点A(2,2),B(,1),此时=3,

直线AB的方程为Y=(X+1),而T(3,0)不在直线AB上.

点评：由抛物线y²=2x上的点A(x₁,y₁)、B(x₁₂,y₂)满足=3,可得y₁y₂=－6。或y₁y₂=2，如果y₁y₂=－6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y₁y₂=2, 可证得直线AB过点(－1,0),而不过点(3,0)。

例6．(1)(2009辽宁卷文、理)(本小题满分12分)

已知，椭圆C以过点A(1，)，两个焦点为(－1，0)(1，0)。

(1)　　　 求椭圆C的方程；

(2)　　　 E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。　

(Ⅰ)解 由题意，c＝1,可设椭圆方程为。　　　　　

因为A在椭圆上，所以，解得＝3，＝(舍去)。

所以椭圆方程为　 ．　　 　　　　　　　

(Ⅱ)证明 　设直线AE方程：得，代入得　　　　　

设E(，)，F(，)．因为点A(1，)在椭圆上，

所以，　　　　　

。　　　　　　　　　　　

又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以代，可得

，　　　　　

。

所以直线EF的斜率。

即直线EF的斜率为定值，其值为。　　　　　　　　　　　 　

(2)(2009福建卷文)(本小题满分14分)

已知直线经过椭圆　　　 的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点和椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线

分别交于两点.

(I)求椭圆的方程；

(Ⅱ)求线段MN的长度的最小值；

(Ⅲ)当线段MN的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？若存在，确定点的个数，若不存在，说明理由

解　 方法一(I)由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为

　 故椭圆的方程为

(Ⅱ)直线AS的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，

从而

由得0

设则得，从而　　　

即又

由得

故

又　　

当且仅当，即时等号成立　　

时，线段的长度取最小值

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知，当取最小值时，

　 此时的方程为

　 要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于，所以在平行于且与距离等于的直线上。

设直线

则由解得或　　

题型4：知识交汇题

例7．已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足.设圆的方程为

(I) 证明线段是圆的直径;

(II)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时，求p的值.

解析：(I)证明1:

整理得:

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