3．余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA, ；

证明：如图ΔABC中，

当A、B是钝角时，类似可证。

正弦、余弦定理可用向量方法证明。

要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题．

2．正弦定理：

证明：由三角形面积

得

画出三角形的外接圆及直径易得：

1．三角形基本公式：

(1)内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC,　 cos(A+B)= -cosC,

cos=sin,　 sin=cos

(2)面积公式：S=absinC=bcsinA=casinB

S= pr = (其中p=,　 r为内切圆半径)

(3)射影定理：a = bcosC + ccosB；b = acosC + ccosA；c = acosB + bcosA

掌握正弦、余弦定理，能初步运用它们解斜三角形。

3．正确理解“焰色反应”：

(1)它是元素的一种物质性质。无论是金属离子或金属原子均能发生焰色反应。它属物理变化过程。

(2)不是所有元素都有特征的焰色。只有碱金属元素以及钙、锶、钡、铜等少数金属元素才能呈现焰色反应。

(3)焰色反应的显色过程与气体物质燃烧时产生各色火焰的过程有着本质的区别。焰色反应并非金属及其化合物自身发生燃烧反应而产生各种颜色火焰的过程，而是它们的原子或离子的外围电子被激发而产生的各种颜色的光的过程。

[典型例题评析]

例1 　碱金属与卤素所形成的化合物大都具有的性质是(2001年上海高考题)

①高沸点 　　②能溶于水 　　③水溶液能导电 　　④低熔点 　　⑤熔融状态不导电

A.①②③　 　　　　　　　B.③④⑤　　　 　　　　C.①④⑤　 　　　　　　　D.②③

思路分析：碱金属与卤素两族元素为活泼的金属和非金属元素，它们形成的化合物为离子化合物，选项中①②③符合离子晶体的通性。

答案：A

方法要领：从物质结构的观点出发，理解物质所具体的性质。

例2　 下列能用于扑灭金属钠着火的是(1996年上海高考题)

A.干冰灭火剂　　　　 B.黄沙　　　　 C.干粉(含NaHCO₃)灭火剂　　　 D.泡沫灭火剂

思路分析：Na为活泼金属，除能与O₂反应外，还能与H₂O、CO₂等物质反应。干粉中NaHCO₃受热会分解产生H₂O和CO₂；泡沫灭火剂中含水等物质。

答案：B

方法要领：灭火一是降低温度，二是隔绝空气，此外灭火剂不能和被扑救的物质发生反应。解题中应根据物质的性质，选择适宜的方法。

例3　 联合制碱法中关键的一步是把NH₄Cl从几乎饱和的NaHCO₃溶液中分离出来，为此根据NaCl和NH₄Cl溶解度的差异，向混合溶液中通入某种气体，同时加入磨细的食盐，可析出不夹带NaHCO₃的NH₄Cl.NaCl和NH₄Cl共同存在时的溶解度曲线如图所示，以下操作正确的是(1998年上海高考题)

思路分析：本题是电离平衡与溶解平衡统一在联合制碱法中一个很好的能力考核点。由于通入NH₃使HCO₃^-与NH₃.H₂O反应转化为CO₃^2-、NH₄⁺与H₂O，使NaHCO₃转化为Na₂CO₃而不易析出，又由于增加了NH₄⁺，并在降温条件下更易使NH₄Cl析出(根据NaCl与NH₄Cl共同存在时的溶解度曲线)。这是非常巧妙的综合分析能力的考核。

答案：D

方法要领：选项已指明了通过两个操作可达目的。由溶解度曲线知温度应低为好；再结合：NH₄Cl(s)　 NH₄⁺+Cl^-，要析出NH₄Cl晶体，可增加[NH₄⁺]，因此可通入NH₃。

例4　 (1)分别写出由氧在一定条件下，生成下列物质的化学方程式(必须注明反应条件)。(2000的广东高考题)

①O₃:　　　　　　　　　　 　②Na₂O₂:　　　　　　　　　　 ③Na₂O:　　　　　　　　

(2)指出氧在下列各物质中的化合价:

O₃:　　　 ; Na₂O₂:　　 ; Na₂O:　　　

(3)KO₂能吸收CO₂生成K₂CO₃和O₂,故可用作特殊情况下的氧气来源,试写出该反应的化学方程式　　　　　　　　　　

(4)人体内O₂^-离子对健康有害,使人过早衰老,但在催化剂SOD存在下可以发生如下反应,请完成该反应的离子方程式:

　 　 　　　O₂^-+　　 H₂O = 　　H₂O₂+　 O₂+　　　　　　 　　　

思路分析：前2题为送分题(但要注意题目对反应条件的要求)，3题关键是配平，4题先逆向配平：H₂O₂→O₂^-(O价态：-1到-0.5，变1价)，O₂→O₂^-(O价态：0到-0.5，变1价)，则1H₂O₂+1O₂--2O₂^-+2H₂O。由电荷守恒及H、O守恒判缺项为OH^-。或先由H、O守恒判缺项为OH^-，再观察配平。

答案：(1)①3O₂ 　　2O₃　 ②2Na+O₂　　　　　 Na₂O₂　 ③4Na+O₂ 　　　　　2Na₂O

(2)0；-1；-2　 (3)4KO₂+2CO₂=2K₂CO₃+3O₂　 (4)2O₂^-+2H₂O = 1H₂O₂+1O₂+2 OH^-　

方法要领：本题主要考查运用基本化学用语的能力。难点在第(4)小题，该题紧密联系生活实际，对中学生来说属于新知识、新情境。由电荷守恒可知，产物中必为一种阴离子，在H、O两种元素范围内组合，应为OH^-。

解题的前提是要具备由Na₂O₂与CO₂反应到KO₂与CO₂反应的迁移能力和从电荷守恒角度掌握缺项离子方程式的配平技能。

例5　 若以X、Y和Z代表三种元素，且知X与Y形成原子数之比为1:1的化合物甲，Y与Z也可形成原子数之比为1:1的化合物乙，又知甲分子含18个电子，乙分子含38个电子，请填空：

(1)元素Y在第　 周期。(2)化合物甲的分子式是　　　　　 　。(3)化合物乙的分子式是　　　　　 　。(2001年高考试测题)

思路分析：二元化合物甲的分子中含有18个电子，显然组成它的两种元素(X和Y)都只能在短周期。X与Y的原子数之比为1:1，因此，很容易想到可能是HCl。但是无论是H还是Cl作元素Y都不可能再形成满足题设条件的化合物乙，于是化合物甲可考虑是H₂O₂(原子比为1:1，分子含18个电子)。进而把O作为元素Y，则化合物乙就是Na₂O₂(原子比为1:1，分子含38个电子)。这样，本题要求填写的三个空白均迎刃而解。

答案：(1)二　 (2)H₂O₂　 (3)Na₂O₂

方法要领：本题考查考生对分子组成、元素性质和周期表的掌握程度。18个电子的微粒有：Ar、F₂、HCl、H₂S、PH₃、H₂O₂、SiH₄、N₂H₄、CH₃OH、C₂H₆、S^2-、Cl^-、K⁺、Ca²⁺、HS^-。

例6　 现有一定量含有Na₂O杂质的Na₂O₂试样，请从下图中选用适当的实验装置，设计一个最简单的实验，测定Na₂O₂试样的纯度(可供选用的反应物只有CaCO₃固体、6mol/L盐酸和蒸馏水)。(1994全国高考题) 　　　　　 　 请填写下列空白: 　 (1)写出实验中Na₂O₂和Na₂O分别发生反应的化学方程式_____________________。 　 　(2)应选用的装置是(只要求写出图中装置的标号)_____________________________________。 　　(3)所选用装置的连接顺序应是(填各接口的字母；连接胶管省略)________________________。

思路分析：由于Na₂O₂和水反应放出O₂，而Na₂O与水反应不放出气体，所以最简单的方法是通过O₂的量计算Na₂O₂的量，由于试样的量一定，即可求出Na₂O₂的纯度。

答案：方法1：(1)2Na₂O₂+2H₂O=4NaOH+O₂↑ Na₂O+H₂O=2NaOH　 (2)(G)接(A)(B)接(F) 方法2：(1)2Na₂O₂+2CO₂=2Na₂CO₃+O₂　 Na₂O+CO₂=Na₂CO₃　 (3)(G)接(D)(C)接(H)(I)[或(I)(H)]接(J)(K)(或(K)(J))接(A)(B)接(F)

方法要领：设计实验确定混合体系中某一物质的纯度，一般步骤是：

(1)断题：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 a.称量

课题(加入某物质或加热)b.生成沉淀

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 c.生成气体

通过称量混合物增重或减轻值可确定纯度；通过过滤、洗涤、烘干、称重可确认纯度；通过生成气体压水测气体体积亦可确认某物质的纯度。如确认Na₂CO₃和NaHCO₃混合物中Na₂CO₃的纯度用a；确认NaCl和BaCl₂中NaCl纯度可用b；Na₂O₂和Na₂O中Na₂O₂的纯度用c。

(2)框图分析(以Na₂O₂和Na₂O混合物为例)

①首先应明确设计最佳实验的标准：Ⅰ.原理正确；Ⅱ.现象明显；Ⅲ.操作简单；Ⅳ.仪器药品易得；Ⅴ.安全可靠

②Na₂O₂和Na₂O产生气体(压水测气体体积)

若选CO₂与Na₂O₂反应，则CO₂尚需制备；若选盐酸与Na₂O₂直接反应，则生成H₂O₂在酸性条件下分解速率没有在碱性条件下分解速率快，故选择水直接和混合物反应产生O₂，气体压出水测出O₂的体积，从而可计算Na₂O₂的纯度，此法最简单，符合题意。

(3)此类题目解题模式的构建

①思维的总过程：

启动→发散→收敛→共识

明确问题→途径→核心→模式

②模式

思路的设计→优选方案→分析比较→操作程序→归纳总结

例7　 将70g过氧化钠和氧化钠的混合物跟98g水充分反应后，所得的氢氧化钠溶液的质量分数为50%。试分别写出过氧化钠和氧化钠跟水反应的化学方程式，并计算混合物中过氧化钠和氧化钠的质量各为多少g？

思路分析：设混合物中Na₂O₂物质的量为x，Na₂O物质的量为y，则有：

2Na₂O₂+2H₂O=4NaOH+O₂↑　　　 Na₂O+H₂O=2NaOH

　 x　　　　　 2x　　 x/2　　　　 y　　　　　 2y

　　　　　　　　 78g/mol x+62g/mol y=70g

根据题意得方程组：

　　　　 解得：x=0.5mol　 y=0.5mol　

则：m(Na₂O₂)=0.5mol×78g/mol=39g　　　 m(Na₂O)=0.5mol×62g/mol=31g

答案：2Na₂O₂+2H₂O=4NaOH+O₂↑、Na₂O+H₂O=2NaOH；Na₂O₂：39g、Na₂O：31g

一题多解：上述反应式知，Na₂O₂与H₂O反应Na₂O₂中既是氧化剂又是还原剂，产生的O₂来自Na₂O₂，相当于2Na₂O₂=2Na₂O+O₂↑；若设Na₂O₂的物质的量X，则混合物与H₂O反应可理解为将(70-16X)g Na₂O与H₂O作用。

根据题意，由钠离子守恒：

　 得：X=0.5mol。(以下略)

例8　 某天然碱(纯净物)可看作由CO₂和NaOH反应后的产物所组成。称取天然碱样品四份，溶于水后，分别逐滴加入相同浓度的盐酸溶液30mL，产生CO₂的体积(标准状况)如下表：(2000年上海高考题)

(1)由第Ⅰ组数据中的CO₂体积与样品质量之比，可以推测用2.49 g样品进行同样的实验时，产生CO₂_________mL(标准状况)。

(2)另取3.32g天然碱样品于300℃加热分解至完全(300℃时Na₂CO₃不分解)，产生CO₂112mL(标准状况)和水0.45g，计算并确定该天然碱的化学式。

(3)已知Na₂CO₃和HCl(aq)的反应分下列两步进行：

Na₂CO₃+HCl→NaCl+NaHCO₃ 　　　Na₂CO₃+HCl→NaCl+CO₂↑+H₂O

由上表中第Ⅳ组数据可以确定所用的HCL(aq)的浓度为　　 mol/L。

(4)依据上表所列数据以及天然碱的化学式，讨论并确定上述实验中CO₂(标准状况)体积V(mL)与样品质量W(g)之间的关系式。

思路分析：试题以天然碱的组成及碳酸盐的性质为依托，构筑一道有层次、有深度且思维容量较大的计算题。对信息的理解能力、对数据的观察和处理能力是解答本题的关键。

(1)(672 mL/3.32 g)×2.49 g=504 mL。

(2)由题意可知，天然碱含NaHCO₃、Na₂CO₃。

n(NaHCO₃)=2n(CO₂)=2×(112/22400)mol=0.01mol　 n(Na₂CO₃)=(672/22400)mol-0.01mol=0.02mol　 n(H₂O)=[(0.45g-(112/22400)mol×18mol)/18mol=0.02mol

所以天然碱组成为2Na₂CO₃.NaHCO₃.2H₂O(式量332)。

(3)7.47 g样品中：n(Na₂CO₃)=(7.47 g/332 g.mol^-1)×2=0.045 mol，则：

Na₂CO₃完全生成NaHCO₃消耗HCl：0.045 mol；生成672mLCO₂消耗HCl：672 mL/22400 mL.mol^-1=0.03 mol。故c(HCl)=(0.045 mol+0.03 mol)/0.030 L=0.025 mol/L。

(4)30ml盐酸中n(HCl)=0.075mol，设样品与HCl反应全转化为NaCl，由：

2Na₂CO₃.NaHCO₃+5HCl=5NaCl+3CO₂↑+3H₂O知：需样品质量：(0.075 mol/5)×332 g/mol=4.98 g

　　 设样品中Na₂CO₃与HCl反应完全转化为NaHCO₃(无CO₂气体放出)，由：

(2Na₂CO₃.NaHCO₃)+2HCl=2NaCl+3NaHCO₃知：需样品质量：(0.075mol/2)×332 g/mol=12.45g

　　 讨论：①0<W≤4.98，HCl过量：V(CO₂)=(W g/332 g.mol^-1×3)×22400 mL.mol^-1=202.4W mL

②4.98≤W≤12.45，Na₂CO₃转化NaHCO₃消耗n(HCl)=(W g/332 g.mol^-1)×2；剩余n(HCl)= 0.075 mol-(W g/332 g.mol^-1)×2，生成CO₂物质的量等于剩余HCl物质的量，故V(CO₂)=[0.075mol-(W g/332 g.mol^-1×2)]×22400 mL/mol=(1860mL-134.9W) mL

③W≤12.45，HCl全部用于使Na₂CO₃转化NaHCO₃，故V(CO₂)=0。

答案：(1)504　 (2)2Na₂CO₃·NaHCO₃·2H₂O　 (3)2.5　 (4)①0<W≤4.98　 V(CO₂)=202.4W mL或V(CO₂)= (W g/332 g.mol^-1×3)×22400 mL.mol^-1；②4.98≤W≤12.45　 V(CO₂)=1680-134.9W mL或V(CO₂)=[0.075mol-(W g/332 g.mol^-1×2)]×22400 mL/mol；③12.45≤W　 V(CO₂)=0

方法要领：本题是有关NaHCO₃和Na₂CO₃混合物系列计算，主要考查运用实验数据定量分析问题的能力，其难点主要是在第(4)小题的讨论上，关键是抓住盐酸的量是一个定值，即2.5mol/L×30×10^-3L=0.075mol，由此依据NaHCO₃、Na₂CO₃与盐酸的反应式求得样品在不同情况下的用量，从而确定W的取值范围。

2．注意Na₂O₂跟CO₂和水蒸气组成的混合气体反应时的先后顺序。若先发生反应：2 Na₂O₂+2H₂O=4NaOH+O₂↑，必还发生2NaOH+ CO₂=Na₂CO₃+H₂O，即应先考虑Na₂O₂跟CO₂的反应。

1．注意钠及其化合物溶于水所得溶液浓度的计算中，Na及Na₂O₂溶于水均会产生气态物质，所得溶液的质量应是原混合物质的质量总和减去产生气体的质量。

13．如图，E是正方形ABCD的边AD上的动点，F是边BC延长线上的一点，且BF=EF，AB=12，设AE=x，BF=y．

(1)当△BEF是等边三角形时，求BF的长；

(2)求y与x之间的函数解析式，并写出它的定义域；

(3)把△ABE沿着直线BE翻折，点A落在点处，试探索：△能否为等腰三角形？如果能，请求出AE的长；如果不能，请说明理由．

12．已知：如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=3，E是CD上一点(不与C、D重合)连接AE，过点B作BF⊥AE，垂足为F。

(1)若DE=2，求的值；

(2)设，① 求关于之间的函数关系式，写出自变量的取值范围；② 问当点E从D运动到C，BF的值在增大还是减小？并说明理由。

(3)当△AEB为等腰三角形时，求BF的长。

11．如图，等腰梯形ABCD中，AB = CD，AD//BC，AD = 2，BC = 4，．

如果P是BC上一点，Q是AP上一点，且．

⑴求证：⊿ABP ∽⊿DQA；

⑵当点P在BC上移动时，线段DQ的长度也随之变化，设PA = x，DQ = y，求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围．