1.（2002天津理，15）直线x=0，y=0，x=2与曲线y=（）^x所围成的图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积等于_____.

2.（1998上海，3）若，则a=      .

3.（1996上海理，16）=      .

4.（2002天津文，21）已知a＞0，函数f（x）=x³－a，x∈［0，+∞）.设x₁＞0，记曲线y=f（x）在点M（x₁，f（x₁））处的切线为l.

（Ⅰ）求l的方程；

（Ⅱ）设l与x轴交点为（x₂，0）.证明：

（i）x₂≥a；

（ii）若x₁＞a，则a＜x₂＜x₁.

5.（2002天津理，20）已知a＞0，函数f（x）=，x∈（0，+∞）.设0＜x₁＜，记曲线y=f（x）在点M（x₁，f（x₁））处的切线为l.

（Ⅰ）求l的方程；

（Ⅱ）设l与x轴交点为（x₂，0），证明：

（i）0＜x₂≤；

（ii）若x₁＜，则x₁＜x₂＜.

6.（2001天津理，21）某电厂冷却塔外形是如图11―1所示双曲线的一部分绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面,其中A、A′是双曲线的顶点，C、C′是冷却塔上口直径的两个端点，B、B′是下底直径的两个端点，已知AA′=14 m，CC′=18 m，BB′=22 m，塔高20 m.

（1）建立坐标系并写出该双曲线方程.

^※（2）求冷却塔的容积（精确到10 m³，塔壁厚度不计，π取3.14）

7.（1995上海文，22）设y=f（x）是二次函数,方程f（x）=0有两个相等的实根，且

f′（x）=2x+2.

（1）求y=f（x）的表达式；

^※（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.

8.（1995上海理，22）设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且

f′（x）=2x+2.

（1）求y=f（x）的表达式；

^※（2）若直线x=－t（0＜t＜1）把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值.

说明：凡标有^※的试题与2002年教学大纲及2003年高考考试说明要求不符，仅供读者自己选用.

●答案解析

1.答案：

解析：由旋转体的体积公式V=π

.

2.答案：4

解析：依题意有：=2，∴a=4

3.答案：－

解析：原式=.

4.（Ⅰ）解：求f（x）的导数：f′（x）=3x²，由此得切线l的方程：

y－（x₁³－a）=3x₁²（x－x₁）.

（Ⅱ）证明：依题意，切线方程中令y=0，

x₂=x₁－，

（i）≥0，

∴x₂≥a，

当且仅当x₁=a时等号成立.

（ii）若x₁＞a，则x₁³－a＞0，x₂－x₁=－＜0，且由（i）x₂＞a，

所以a＜x₂＜x₁.

5.（Ⅰ）解：求f（x）的导数：f′（x）=－，由此得切线l的方程：

y－（）=－（x－x₁）.

（Ⅱ）证明：依题意，切线方程中令y=0，

x₂=x₁（1－ax₁）+x₁=x₁（2－ax₁），其中0＜x₁＜.

（i）由0＜x₁＜，x₂=x₁（2－ax₁），有x₂＞0，及x₂=－a（x₁－）²+.

∴0＜x₂≤，当且仅当x₁=时，x₂=.

（ii）当x₁＜时，ax₁＜1，因此，x₂=x₁（2－ax₁）＞x₁，且由（i），x₂＜，

所以x₁＜x₂＜.

6.（1）如图11―2建立直角坐标系，xOy，使AA′在x轴上，

AA′的中点为坐标原点O，CC′与BB′平行于x轴.

设双曲线方程为=1（a＞0，b＞0），则a=AA′=7.

又设B（11，y₁），C（9，y₂），因为点B、C在双曲线上，所以有

            ①

      ②

由题意，知y₂－y₁=20. ③

由①、②、③，得

y₁=－12，y₂=8.b=7.

故双曲线方程为=1；

（2）由双曲线方程，得x²=y²+49.

设冷却塔的容积为V（m³），则

.

经计算，得V=4.25×10³（m³）.

答：冷却塔的容积为4.25×10³ m³.

评述：本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力.

7.解：（1）设f（x）=ax²+bx+c，则f′（x）=2ax+b，又已知f′（x）=2x+2

∴a=1，b=2.

∴f（x）=x²+2x+c

又方程f（x）=0有两个相等实根，

∴判别式Δ=4－4c=0，即c=1.

故f（x）=x²+2x+1.

（2）依题意，有所求面积=.

评述：本题考查导数和积分的基本概念.

8.解：（1）与7（1）相同.（2）依题意，有，

∴，

－t³+t²－t+=t³－t²+t，2t³－6t²+6t－1=0，

∴2（t－1）³=－1，于是t=1－.

●命题趋向与应试策略

1.本章内容在高考中以填空题和解答题为主.主要考查：

（1）函数的极限；

（2）导数在研究函数的性质及在解决实际问题中的应用；

（3）计算曲边图形的面积和旋转体的体积.

2.考生应立足基础知识和基本方法的复习，以课本题目为主，以熟练技能，巩固概念为目标.