1. 抛物线定义：

平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线

思考1：抛物线定义中，Fl,当F∈l时，轨迹是什么？（过F垂直于l的直线）

思考2：抛物线的离心率是多少？（椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线，椭圆离心率为e∈(0,1)，双曲线离心率为e∈(1,+∞),抛物线只能为1。到定点距离与到定直线距离的比就是离心率）

问题3：怎样得到抛物线的方程？

2．推导抛物线的标准方程：

如图所示，建立直角坐标系系，设|KF|=（>0）,那么焦点F的坐标为，准线的方程为，

设抛物线上的点M（x,y），则有

化简方程得

   方程叫做抛物线的标准方程

（1）它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（,0），它的准线方程是

p为焦点到准线的距离，简称焦准距

   （2）一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：，，.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下 

图形

方程

焦点

准线

   说明：如果不考虑p的正负，则抛物线标准方程有两种形式y²=2ax,y²=-2ax

   思考：y=ax²的焦点坐标和准线方程各是什么？（焦点（0，）,准线x=-）

   练习：教材P45----练习题

   例：M为抛物线y²=4x上一点，F为其焦点，（1）MF=6,求M的坐标；(2)若A(2,2),MF+MA最小，求M的坐标

   解：(1)设M(x,y),

[方法一]则，解得M(5,±2)

[方法二]抛物线准线为x=-1,MF等于M到准线的距离x+1=6,x=5,代入抛物线方程得M(5,±2)

(2)设M到准线距离为d,则MF+MA=d+MA,从而自A向准线作垂线，与抛物线交点即为点M,M(1,2)

[补充习题]

1、若点A是定直线l外一定点，则过点A且与l相切的圆的圆心的轨迹是_______________

2、点M到点（0，8）的距离比它到直线y＝－7的距离大1，则M点的轨迹方程是________．

3、抛物线y²＝16x上的一P到x轴的距离为12，焦点为F，求PF=____

4、已知抛物线y²＝x上的点M到准线的距离等于它到顶点的距离，求P点的坐标．

5、求过点(t²,t)(t≠0)的抛物线方程

[答案]

1、以A为焦点，l为准线的抛物线

2、x²=32y(将y=-7向下平移一个单位得到y=-8,M到它的距离与到点(0,8)的距离相等)

3、13

4、（，）

5、x²=t³y或y²=x

[教后感想与作业情况]

2.4.2抛物线的几何性质

[教学目标]

[教学重点]抛物线的几何性质。

[教学难点]抛物线的几何性质的应用。

教学过程：

二、建构数学

先根据抛物线的标准方程研究抛物线的几何性质

1、范围：x≥0

2、对称性

抛物线关于x轴对称.我们把抛物线的对称轴叫抛物线的轴.

3、顶点

抛物线和它的轴的交点叫抛物线的顶点.即坐标原点.

4、抛物线的几何性质归纳

标准方程

图  形

焦点坐标

准线方程

开口方向

向右

向左

向上

向下

对称轴

x轴

y轴

顶点

坐标原点

观察发现1：抛物线的对称轴与其标准方程有什么联系？（正好是标准方程中的一次项）

2：抛物线中，过焦点而垂直于轴直线与抛物线两交点的线段称抛物线的通径，其长为多少？（2p）

3、抛物线有无渐近线？（无，当x的值增大时,也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.(但应让学生注意与双曲线一支的区别,无渐近线).

三、数学运用

课堂练习：课本47页练习1－3

例1、 汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线，灯口直径为197mm，反光曲面的顶点到灯口的距离是69mm，由抛物线的性质可知，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平行光线，为了获得平行光，应怎样安装灯泡？（精确到1mm）

解：如图，在车灯的一个轴截面上建立坐标系，设抛物线方程为，灯应安装在焦点F处。

在轴上取一点C，使OC=69cm，过C作x轴的垂线，交抛物线与A、B两点，AB就是灯口的直径，即AB=197，所以A点坐标为，将A点坐标代入方程，解得，它得焦点坐标约为。因此灯泡应该安装在距顶点35mm处。

例2、正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线上,求这个正三角形的边长.

分析:观察图正三角形及抛物线都是轴对称图形,如果能证明x轴是它们的公共的对称轴,则容易求出三角形的边长.

解：如图,设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上,且坐标分别为,则：

,所以.

由此可得,,即线段AB关于x轴对称,因为x轴垂直于AB,且

∠Aox=30°,所以.

说明:这个题目对学生来说,求边长不困难,但是他们往往直观上承认抛物线与三角形的对称轴是公共的,而忽略了它的证明.教学时, 要提醒学生注意这一点。

例3、已知定点，试在抛物线上找一点N，求MN的最小值，并求相应的点N的坐标

解： 设，则,＝x₁²-2(a-p)x₁+a²

（1）       当即时，，取最小值，此时

（2）       当即时，，取最小值，此时

MN_min=

   [补充习题]

1、点(x,y)在抛物线y²=4x上，则z=x²++3的最小值是_______，到直线2x-y-4=0距离最小的点的坐标为_________________

2、已知抛物线的顶点为椭圆=1（a>b>0）的中心，抛物线的焦点为椭圆的一个焦点，椭圆的离心率e=,有抛物线与椭圆交于点M(,-)，求椭圆与抛物线的方程

3、已知点F为抛物线y²=4x的焦点，点A、B是抛物线上两点，三角形AFB是正三角形，求该三角形的边长

[答案]

1、3；(,±1)

2、+=1，y²=4x

3、8±4

[教后感想与作业反馈]

                        2.4.2（2）抛物线性质的应用

教学目标

教学重点

会利用抛物线的标准方程和几何性质处理一些简单的问题；

教学难点

分析问题解决问题能力的培养。

教学过程

教学内容

一、复习引入

抛物线的几何性质（范围、对称性、顶点、开口方向、通径）

二、数学运用

例1．已知抛物线顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点(x₀，-8)到焦点的距离等于17，求抛物线方程.

分析  设方程为y²=2px(p＞0)或y²=-2px(p＞0)

则  x₀+=17或-x₀=17       即  x₀=17-或x₀=-17

将(17-，-8)代入y²=2px      解得  p=2或p=32

将(-17，-8)代入y²=-2px     解得  p=2或p=32

∴所求抛物线方程为y²=±4x或y²=±64x.

说明：注意解题过程中用待定系数法的步骤：设――算――回

例2．  已知抛物线y²=2px上两点A、B，BC⊥x轴交抛物线于C，AC交x轴于E，BA延长交x轴于D，求证：O为DE中点.

分析  只需证出D、E两点的横坐标互为相反数即可，设A，B   ，设D，E,由A,B,D三点共线得（斜率相等或向量共线）：x_D=x₁-=-=-=，同理，由A,C,E共线得： （以-y₂代替y₁）     即O为DE中点.

说明：计算中注意先化简后求值，同理时注意其代换规律

例3．       已知直线L过点A（）且与抛物线只有一个公共点，求直线L的方程。

分析   设直线方程为：代入抛物线方程化简得：

（1）       当时，方程组有且只有一解，所以直线与抛物线只有一个公共点；

  直线方程为：

（2）       当时，由得或直线方程为：或

总之，直线方程为y-1=0或2x+2y+1=0或2x-6y+0=0

说明：直线l与抛物线C:(  )²=±2p(    )交点，看其公共方程mx²+nx+q=0或my²+ny+q=0,则△=n²-4mq,于是：l与C相交于两点；相交于一点m=0l与C的对称轴重合或平行；相切于一点；相离

例4．       过抛物线的顶点作两条互相垂直的弦OA，OB，证明：AB与抛物线的对称轴交于定点。

分析  可分别设OA,OB所在的直线方程为：和（）由 解得A ，同理可得B（以-代替其中的k）,直线AB的方程：=，另y=0解得与X轴交于一定点

[补充习题]

1、抛物线y²=6x,过点P(4,1)引一弦，使它恰好在点P平分，则此弦所在的直线方程为________

2、直线y=x+b与抛物线y²=-3x交于A、B两点，且线段中点的横坐标为-2，则b=__________

3、抛物线x²=4y,过焦点F倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，则线段AB的长为__________

4、抛物线顶点在原点，坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，则抛物线方程为_______

5、设O为原点，抛物线y²=2x与过焦点的直线交于A、B两点，求

6、抛物线y²=2px(p>0),点P(1,2)、A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)都在抛物线上（1）求抛物线方程；（2）当PA、PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y₁+y₂的值及直线AB的斜率

[答案]

1、3x-y-11=0

2、1/2

3、8

4、x²=±16y

5、-

6、(1)y²=4x;   (2)-1

[教后感想与作业情况]