例1、(07海南) 曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（　　）

Ａ、              Ｂ、          Ｃ、             Ｄ、

例2、(07全国Ⅰ20) 设函数。

（Ⅰ）证明：的导数；

（Ⅱ）若对所有都有，求的取值范围。

例3、(05全国Ⅱ22) 已知，函数．

（Ⅰ）当为何值时，取得最小值？证明你的结论；

（Ⅱ）设在[,1]上是单调函数，求的取值范围。

;（)

（一）选择题：

1、（07浙江）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（    ）

2、（07江西）设函数是上以5为周期的可导偶函数，则曲线在处的切线的斜率为（　　）

Ａ、               Ｂ、                  Ｃ、                 Ｄ、

3、（07陕西）是定义在上的非负可导函数，且满足．对任意正数，若，则必有（    ）

A、                   B、

C、                    D、

4、（06北京）在下列四个函数中，满足性质：“对于区间（1，2）上的任意,( ).

恒成立”的只有（   ）

A、        B、        C、        D、

5、（06安徽）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（   ）

 A、    B、    C、    D、

（二）填空题：

6、（06湖南）曲线和在它们的交点处的两条切线与轴所围成的三角形的面积是___________；

7、（05北京）过原点作曲线的切线，则切点的坐标为           ，切线的斜率

为        。

（三）解答题：

8、（06北京）已知函数在点处取得极大值5，其导函数 的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示，求： （Ⅰ）的值； （Ⅱ）的值.                      

9、（06安徽20）已知函数在上有定义，对任何实数和任何实数，都有。（Ⅰ）证明；（Ⅱ）证明  其中和均为常数；（Ⅲ）当（Ⅱ）中的时，设，讨论在内的单调性并求极值。

证明（Ⅰ）令，则，∵，∴。

（Ⅱ）①令，∵，∴，则。

假设时，，则，而，∴，即成立。

②令，∵，∴，

假设时，，则，而，∴，即成立。∴成立。

（Ⅲ）当时，，

令，得；

当时，，∴是单调递减函数；

当时，，∴是单调递增函数；

所以当时，函数在内取得极小值，极小值为

导数的应用080626

例1、（07山东22）设函数，其中．

（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；

（Ⅱ）求函数的极值点；

（Ⅲ）证明对任意的正整数，不等式都成立．

解：（Ⅰ）由题意知，的定义域为，

设，其图象的对称轴为，

．

当时，，

即在上恒成立，

当时，，

当时，函数在定义域上单调递增．

（Ⅱ）①由（Ⅰ）得，当时，函数无极值点．

②时，有两个相同的解，

时，，

时，，

时，函数在上无极值点．

③当时，有两个不同解，，，

时，，，

即，．

时，，随的变化情况如下表：

极小值

由此表可知：时，有惟一极小值点，

当时，，

，

此时，，随的变化情况如下表：

极大值

极小值

由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点；

综上所述：

时，有惟一最小值点；

时，有一个极大值点和一个极小值点；

时，无极值点．

（Ⅲ）当时，函数，

令函数，

则．

当时，，所以函数在上单调递增，

又．

时，恒有，即恒成立．

故当时，有．

对任意正整数取，则有．

所以结论成立．

例2、（06全国Ⅰ21）已知函数。（Ⅰ）设，讨论的单调性；（Ⅱ）若对任意恒有，求的取值范围。

解(Ⅰ)f(x)的定义域为(－∞,1)∪(1,+∞).对f(x)求导数得 f '(x)= e^－ax.  

(?)当a=2时, f '(x)= e^－2x, f '(x)在(－∞,0), (0,1)和(1,+ ∞)均大于0, 所以f(x)在(－∞,1), (1,+∞).为增函数.

(?)当0<a<2时, f '(x)>0, f(x)在(－∞,1), (1,+∞)为增函数.

(?)当a>2时, 0<<1, 令f '(x)=0 ,解得x₁= － , x₂= .

当x变化时, f '(x)和f(x)的变化情况如下表:

x

(－∞, －)

(－,)

(,1)

(1,+∞)

f '(x)

＋

－

＋

＋

f(x)

ㄊ

ㄋ

ㄊ

ㄊ

f(x)在(－∞, －), (,1), (1,+∞)为增函数, f(x)在(－,)为减函数.

(Ⅱ)(?)当0<a≤2时, 由(Ⅰ)知: 对任意x∈(0,1)恒有f(x)>f(0)=1.

(?)当a>2时, 取x₀= ∈(0,1),则由(Ⅰ)知 f(x₀)<f(0)=1

(?)当a≤0时, 对任意x∈(0,1),恒有 >1且e^－ax≥1,得

f(x)= e^－ax≥ >1. 综上当且仅当a∈(－∞,2]时,对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1。

例3、（06天津20）已知函数，其中为参数，且．（1）当时，判断函数是否有极值；（2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围。

（Ⅰ）当时，，则在内是增函数，故无极值 

（Ⅱ），令，得

由（Ⅰ），只需分下面两种情况讨论 

①当时，随x的变化的符号及的变化情况如下表：

x

0

+

0

-

0

+

ㄊ

极大值

ㄋ

极小值

ㄊ

因此，函数在处取得极小值，

且 

要使，必有，可得

由于，故 

②当时，随x的变化，的符号及的变化情况如下表：

+

0

-

0

+

极大值

极小值

因此，函数处取得极小值，且

若，则。矛盾。所以当时，的极小值不会大于零 

故参数的取值范围为 

（III）由（II）知，函数在区间与内都是增函数 

由题设，函数内是增函数，则a须满足不等式组

　或　　

由（II），参数时时，

要使不等式关于参数恒成立，

必有，即

解得或　　

所以的取值范围是  

例4、（04福建16）如图1，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的底面边长为         时，其容积最大。

（一）选择题：

1、（06天津）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（　   ）

A、1个          B、2个

C、3个          D、4个

2、（06江西）对于上可导的任意函数，若满足，则必有（   ）

A、     B、

C、    D、

（二）填空题：

3、（07江苏）已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，，则_____；

4、（05重庆）曲线处的切线与x轴、直线所围成的三角形的面积为=             。

（三）解答题：

5、（07海南21）设函数

（I）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；

（II）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．

解：

（Ⅰ），

依题意有，故．

从而．

的定义域为，当时，；

当时，；

当时，．

从而，分别在区间单调增加，在区间单调减少．

（Ⅱ）的定义域为，．

方程的判别式．

（?）若，即，在的定义域内，故的极值．

（?）若，则或．

若，，．

当时，，当时，，所以无极值．

若，，，也无极值．

（?）若，即或，则有两个不同的实根，．

当时，，从而有的定义域内没有零点，故无极值．

当时，，，在的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知在取得极值．

综上，存在极值时，的取值范围为．

的极值之和为

．

6、（07福建22）已知函数

（Ⅰ）若，试确定函数的单调区间；

（Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；

（Ⅲ）设函数，求证：。

本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．满分14分．

解：（Ⅰ）由得，所以．

       由得，故的单调递增区间是，

       由得，故的单调递减区间是．

       （Ⅱ）由可知是偶函数．

       于是对任意成立等价于对任意成立．

       由得．

       ①当时，．

       此时在上单调递增．

       故，符合题意．

       ②当时，．

       当变化时的变化情况如下表：

单调递减

极小值

单调递增

由此可得，在上，．

依题意，，又．

综合①，②得，实数的取值范围是．

（Ⅲ），

，

，

由此得，

故．

7、（07湖北20）已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．

（I）用表示，并求的最大值；

（II）求证：（）．

分析：本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．

解：（Ⅰ）设与在公共点处的切线相同．

，，由题意，．

即由得：，或（舍去）．

即有．

令，则．于是

当，即时，；

当，即时，．

故在为增函数，在为减函数，

于是在的最大值为．

（Ⅱ）设，

则．

故在为减函数，在为增函数，

于是函数在上的最小值是．

故当时，有，即当时，。

8、（05湖北）已知向量在区间（－1，1）上是增函数，求的取值范围。

9、（05江苏22）已知函数（Ⅰ）当时，求使成立的的集合；（Ⅱ）求函数在区间[1,2]上的最小值。

[分析]:本题是一道函数与导数综合运用问题,第一问对x进行讨论,得出方程,进而求出x的值;第二问对a进行讨论,结合函数的一阶导数值判断函数在区间上的单调性,进而求出函数的最小值.

[解答]:

   (Ⅰ)由题意,f(x)=x²

当x<2时,f(x)=x²(2-x)=x,解得x=0,或x=1;

当x

综上所述,所求解集为.

(Ⅱ)设此最小值为m.

①当

            因为:

            则f(x)是区间[1,2]上的增函数,所以m=f(1)=1-a..

②当1<a.

③当a>2时，在区间[1，2]上，

             若在区间(1，2)内f^/(x)>0,从而f(x)为区间[1，2]上的增函数，

             由此得：m=f(1)=a-1.

             若2<a<3,则

             当

             当

             因此，当2<a<3时，m=f(1)=a-1或m=f(2)=4(a-2).

             当;

             当

             综上所述，所求函数的最小值

  [评析]:本题主要考查运用导数研究函数性质的方法,同时考查了分类讨论转化化归的数学思想，以及相关分析推理、计算等方面的能力。