2．两个平面垂直的判定方法(判定方法有两种，一是利用定义，二是利用判定定理．)

1．两个平面垂直的定义、画法

3．如图，正方体的棱长为1，，求：

(1)与所成角；

(2)与平面所成角的正切值；

(3)平面与平面所成角

解：(1)∵ ∴与所成角就是

∵平面 ∴(三垂线定理)

在中， 　　∴

(2)作，平面平面

∴平面，为与平面所成角

在中，　 ∴

(3)∵　 ∴平面

又∵平面　 ∴平面平面

即平面与平面所成角为

说明：本题包含了线线角，线面角和面面角三类问题，求角度问题主要是求两条异面直线所成角，直线和平面所成角，二面角三种；求角度问题解题的一般步骤是：(1)找出这个角；(2)证明该角符合题意；(3)作出这个角所在的三角形，解三角形，求出角；求角度问题不论哪种情况都归结到两条直线所成角问题，即在线线成角中找到答案

2．如果二面角的平面角是锐角，点到的距离分别为，求二面角的大小

分析：点可能在二面角内部，也可能在外部，应区别处理

解：如图1是点在二面角的内部时，图2是点在二面角外部时，

∵　 ∴

∵　 ∴面

同理，面

而面面

∴面与面应重合

即在同一平面内，

则是二面角的平面角

在中，　 ∴

在中，　 ∴

故(图1)或(图2)

即二面角的大小为或

说明：作一个垂直于棱的平面，此平面与两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角

1．直角的斜边在平面内，与所成角分别为，是斜边上的高线，求与平面所成角的正弦值

解：过点作于点，连接，

则，，为所求与所成角，记为，

令，则，

则在中，有

在中，

∴与平面所成角的正弦值.

例1 如图，已知是圆的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的任一点，求证：平面平面．

分析：根据“面面垂直”的判定定理，要证明两平面互相垂直，只要在其中一个平面中寻找一条与另一平面垂直的直线即可

解：∵是圆的直径，∴，

又∵垂直于所在的平面，∴，

∴平面，又在平面中，

所以，平面平面．

说明：由于平面与平面相交于，所以如果平面平面，则在平面中，垂直于的直线一定垂直于平面，这是寻找两个平面的垂线的常用方法

例2．已知，求证：．

证明：设，

在内取点，过作于，于点，

∵，∴，

又∵，

∴，同理可得，

∴．

例3．已知在一个的二面角的棱长有两点，分别是在这个二面角的两个平面内，且垂直于线段，又知，求的长

解：由已知

，

∴

，

3．两平面垂直的性质定理： 若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面

已知：于点，

求证：．(面面垂直线面垂直)

证明：在内过作，则由题意得是的平面角，

∵知，又∵， ∴．

1 两个平面垂直的定义：

两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面

2．两平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直

已知：直线平面，平面，垂足为，

求证：．(线面垂直面面垂直)

证明：如图所示，令，则，

在内过作，

∵，∴，

∴是二面角的平面角，

又∵，∴是直角，

所以，与所成的二面角是直角，即．

实例：建筑工地在砌墙时，常用铅垂的线来检查所砌的墙是否和水平面垂直

4．二面角的平面角：

　 (1)过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内作棱的两条垂线，则叫做二面角的平面角

(2)一个平面垂直于二面角的棱，且与两半平面交线分别为为垂足，则也是的平面角

说明：(1)二面角的平面角范围是；

(2)二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直

2．公式：已知平面a的斜线a与a内一直线b相交成θ角，且a与a相交成j₁角，a在a上的射影c与b相交成j₂角，则有

3 二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为，两个面分别为的二面角记为；二面角的图形表示：

第一种是卧式法，也称为平卧式：

第二种是立式法，也称为直立式：